2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：3 微专题 例析反证法的应用与综合（2） 数学方法：反证法

微专题 例析反证法的应用与综合（2） 【学生版】 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 知识梳理 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β．有时直接验证这一点并不是一件容易的事； 所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 反证法是数学中常用的证明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的．这样的证明方法叫反证法；” 所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题； 反证法的运用模式可以简要概括为“否定→推理→否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定； 应用反证法证明主要有三步：否定结论→推导出矛盾→结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立； 反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。 【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法； （2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。学习笔记 典题例析 六、函数与反证法交汇 例11、某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了函数的三要素、不等式的性质与反证法的交汇；； 例12、设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R. （1）若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)? （2）若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0? 以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由． 【提示】； 【解析】 【说明】本题以函数知识为背景，揭示了反证法的适用情况与注意点：学习笔记 1、当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾； 2、反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法； 七、不等式与反证法的综合 例13、已知a，b，c均为正实数，则，，的值(　　) A．都大于1 B．都小于1 C．至多有一个不小于1 D．至少有一个不小于1 【说明】本题考查了不等式性质与反证法的交汇； 例14、已知. 求证：，，中至少有一个不小于6. 【说明】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.学习笔记 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法； 八、集合与反证法的交汇 例15、在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明： 假设是中的最小数，则存在， 可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾， 所以数集没有最小数. 那么对于问题：“证明数集，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是