2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：2 微专题 例析反证法的应用与综合（1） 数学方法：反证法

微专题 例析反证法的应用与综合（1） 【学生版】 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 知识梳理 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β．有时直接验证这一点并不是一件容易的事； 所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 反证法是数学中常用的证明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的．这样的证明方法叫反证法；” 所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题； 反证法的运用模式可以简要概括为“否定→推理→否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定； 应用反证法证明主要有三步：否定结论→推导出矛盾→结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立； 反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。本文从十二个方面，分别举例说明 【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法； （2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。学习笔记 典题例析 一、理解与体验反证法的步骤与格式 例1、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题主要考查反证法的要点与逻辑连接词的规范使用； 例2、先阅读教材，理解与再述与反证法说明“是一个无理数”； 请模仿这种方法，说明是无理数． 搜索、阅读与理解：“无理数”的由来； 【解析】为什么不可能是一个有理数？不妨模仿课本用代数方法来证明这个问题； 假设是一个有理数，那么可以得到，其中、是整数且、互质且，这时，就有：； 于是（*），则是的倍数． 再据（*）式设，其中是整数，就有：，也就是：， 所以也是的倍数，可见、不是互为质数，与前面所假设的与互质相矛盾， 因此，不可能是一个有理数； 同理，假设是一个有理数． 则（、是整数且、互质且），则，学习笔记 两边同时平方得：____①_____， 所以：，可得：， 所以：_____②___， 因为：_______③_____； 所以：是一个无理数； 【提示】； 【答案】 【说明】本题考查了用反证法证明无理数，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键； 体验用反证法证明代数问题的思路、步骤与规范表述； 二、反证法与代数式的化简与判别 例3、若、、均为正数，且，那么这三个正数中至少有一个大于或等于，用反证法证明时应先假设这三个正数（ ） A．不都小于 B．有两个小于 C．都小于 D．都大于 【提示】； 【答案】 【解析】 【说明】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定； 例4、用反证法证明：学习笔记 （1）已知：，求证：a必为负数． （2）求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和； 【提示】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成