2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：1 微专题 对反证法的理解及其试题题型 数学方法：反证法

微专题 对反证法的理解及其试题题型 【学生版】 知识梳理 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了；又称“举反例法”；但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β．有时直接验证这一点并不是一件容易的事； 所以，现行教材因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 反证法是数学中常用的证明方法之一，是一种间接证法；教材中提及：“它首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明 “β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的．这样的证明方法叫反证法；” 所谓反证法：又称归谬法、背理法，是一种间接证法；它是先提出一个与命题的结论相反的假设（即在原命题的条件下，结论不成立），然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。它的依据是原命题和逆否命题是等价命题； 反证法的运用模式可以简要概括为“否定→推理→否定”，即从否定结论开始，经过正确无误地推理导致逻辑矛盾，达到新的否定； 应用反证法证明主要有三步：否定结论→推导出矛盾→结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设，即做出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬，即将反设作为条件，通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立； 应用反证法的常见情形： 1、结论显而易见，直接证明困难； 2、需分成很多类进行讨论； 3、结论一般是含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”、“不可能”、“一定”、“唯一”等字样的命题； 典题例析 例1、用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（     ）学习笔记 A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个奇数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 【提示】； 【答案】；； 【解析】； 【说明】本题主要考查反证法及其渗透程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容；熟悉教材要求的： 陈述句α α的否定形式 x＞1 x≤1 x＞1或y＞1 x≤1或y≤1 集合p中满足性质q的元素至少有两个 集合p中满足性质q的元素最多有一个 所有的x∈A满足性质p 至少存在一个x∈A满足性质p 所有的x∈A 不满足性质p 至少存在一个x∈A满足性质p 例2、“已知，，且，证明数列或者对任意正整数n都满足，或者对任意正整数n都满足”，当此题用反证法否定结论时，结论应为（     ） A．对任意正整数n，都满足 B．存在正整数n，使 C．存在正整数，使 D．存在正整数，使 【提示】；学习笔记 【答案】； 【详解】； 【说明】注意在明确命题的前提下，用好反证法； 例3、用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴 ” 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】反证法证明命题，只否定结论，条件不变，至多只有个理解为，故否定为； 例4、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为 . 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力；学习笔记 例5、设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根。 【提示】； 【解析】 【说明】本题属于用反证法证明否（肯）定式命题； 1、对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的； 2、常见否定词语的否定形式如下表所示： 否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 例6、已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个； 【提示】；