专题10 勾股定理及其逆定理重难点题型专训【十大题型】-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题10 勾股定理及其逆定理重难点题型专训【十大题型】 【题型目录】 题型一 勾股数问题 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理与网格问题 题型四 勾股定理的证明方法 题型五 用勾股定理构造图形解决问题 题型六 勾股定理中的折叠问题 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 判断三边是否构成直角三角形 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 题型十 勾股定理逆定理的拓展 注：本讲义含有实数的相关知识，可先了解平方根的相关概念再做本专题； 【知识梳理】 【经典例题一 勾股数问题】 【例1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【变式训练】 1．（2023春·湖北随州·八年级统考期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．    3．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ． 4．（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 5．（2022春·八年级单元测试）阅读材料并解答问题： 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”． 关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法：若为奇数，则，和是勾股数． 方法：若任取两个正整数和，则，，是勾股数． (1)在以上两种方法中任选一种，证明以，，为边长的是直角三角形； (2)请根据方法和方法按规律填写下列表格： 勾m 3 5 11 … 股 4 12 60 … 弦 5 13 61 … m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 … n 1 2 1 3 2 1 4 3 5 … 3 5 8 7 12 15 9 16 11 … 4 12 6 24 16 8 40 30 60 … 5 13 10 25 20 17 41 34 61 (3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为米，如果每个三角形最短边上都植棵树，且每个三角形的各边长之比为，那么这四个直角三角形的边长共需植树________棵．    【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表