专题12 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题【五大题型】-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题12 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题【五大题型】 【题型目录】 题型一 与长方形有关的最短路径问题 题型二 与圆柱有关的最短路径问题 题型三 与台阶有关的最短路径问题 题型四 将军饮马与最短路径问题 题型五 几何图形中的翻折、旋转问题 重难点训练 勾股定理中的15道最短路径问题专训 勾股定理中的15道翻折、旋转问题专训 【知识梳理】 勾股定理中的最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 勾股定理中的翻折问题 勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度． 【经典例题一 与长方形有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论． 要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前＋右”、“前＋上”和“左＋上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同． 【例1】（2023春·八年级课时练习）如图，一长方体木块长，宽，高， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，一只蚂蚁从长、宽都是2cm，高是4cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A．cm B．cm C．cm D．8cm 2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，长方体的长、宽、高分别是，，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．    3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【经典例题二 与圆柱有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算． 要点总结： 1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数． 【例2】（2022秋·四川成都·八年级成都七中统考期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计） A． B． C． D． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）． 3．（2022秋·重庆南岸·八年级校联考期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 【经典例题三 与台阶有关的最短路径问题】 【解题思路】根据两点之间线段之和最小进行解决． 要点总结：展开—定点—连线—勾股定理 【例3】（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【变式训练】 1．