专题六 用整体思想解决数学问题-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（苏科版）

46 专题六　用整体思想解决数学问题 整体思想,就是在解决数学问题时,从大处着眼,由整体入手,把一些彼此独立、实质上却紧 密联系的量作为整体考虑的思想方法.这种思想方法在解决一些问题时有着非常重要的作用,通 常可使许多按常规方法解比较麻烦甚至不可解的问题得到快速便捷地解答.其主要表现形式有 整体代入、整体加减、整体代换等. 类型一 用整体思想解决方程组问题 1. 我们知道方程组 2x+3y=19, 3x+4y=26 的解是x=2 , y=5. 现 给 出 另 一 个 方 程 组 2(2x+4)+3(y+3)=19, 3(2x+4)+4(y+3)=26, 它 的 解 是 . 2. 阅读材料: 小明在解方程组 4x+10y=6①, 8x+22y=10② 时,采用了 一种“整体代换”的解法,解法如下: 将方程②写成8x+20y+2y=10,变形为 2(4x+10y)+2y=10③.把①代入③,得 2×6+2y=10,解得y=-1.把y=-1代 入①,得4x-10=6,解得x=4.∴ 方程组 的解为 x=4, y=-1. 请你解决以下问题: (1) 试用小明的“整体代换”的方法解方程 组 2x-3y=7, 6x-5y=11; (2) 已知x、y、z 满足 3x-2z+12y=47, 2x+z+8y=36, 试求z的值. 3. ★已 知 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 的 解 是 x=1 , y=2, 求 方 程 组 a1x+b1y=3c1, a2x+b2y=3c2 的解. 类型二 用整体思想因式分解 4. 阅读材料: 你会对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)- 7进行因式分解吗? 对于结构较复杂的多项 式,若把其中某些部分看成一个整体求解, 则能使复杂的问题简单化、明朗化. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 47 下面是用整体思想对多项式(x2-4x+1)(x2- 4x+7)-7进行因式分解. 解:将x2-4x 看成整体,令x2-4x=y,则 原式=(y+1)(y+7)-7=y2+8y=y(y+ 8)=(x2-4x)(x2-4x+8)=x(x- 4)(x2-4x+8). 用上面的方法因式分解:(x2-4x+2)(x2- 4x+6)+4. 类型三 用整体思想求值或求取值范围 答案讲解 5. [发现问题] 已知 3x+2y=4①, 2x-y=6②, 求 4x+5y的值. 在求解该题目时发现可以不解方程组,将 ①×2-②,就可以直接求出4x+5y的值. [分析问题] 爱思考的小明同学为了得到这 种解题方法的通用方式,发现可以将①× m+②×n,可得(3m+2n)x+(2m-n)y= 4m+6n.令等式左边(3m+2n)x+(2m- n)y=4x+5y,比较系数可得 3m+2n=4, 2m-n=5, 解得 m=2, n=-1. ∴ 4x+5y=4m+6n=8- 6=2. [解决问题] 对于方程组 7x+4y=2①, 9x+3y=1②, 利 用上述方法,求3x+6y的值; [迁移应用] 已知 1<2x+y<3, 2<3x+2y<4, 求x-3y 的取值范围. 类型四 用整体思想求角度 6. 在数学学习中,整体思想与转化思想是我们 常用到的数学思想. (1) 如 图①,求∠A+∠B+∠ACE+ ∠ADB+∠E 的度数等于多少时,我们可以 连接CD.利用三角形的内角和,有∠B+ ∠E=∠ECD+∠BDC,这样∠A、∠B、 ∠ACE、∠ADB、∠E 的度数和就可以转化 到 同 一 个 △ACD 中,则 ∠A + ∠B + ∠ACE+∠ADB+∠E= . (2) 如图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为 . (3) 如图③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为 . (4) 如图④,∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F 的度数为 . 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈