第2章2.4 线段、角的轴对称性-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（苏科版）

83 2.4　线段、角的轴对称性 1. 线段是轴对称图形, 是它的对称轴. 2. 线段垂直平分线上的点 相等. 3. 的点在线段的垂直平分线上. 4. 线段的垂直平分线是 的点的集合. 5. 用直尺和圆规作线段AB 的垂直平分线(如图): (1) 分别以点 、 为圆心, 的长为半径画弧,两弧 相交于点C、D; (2) 过 、 两点作直线.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线. 6. 角是轴对称图形, 是它的对称轴. 7. 角平分线上的点 相等. 8. 的点在角的平分线上. 典例1∠AOB 及M、N 两点如图所示,请在 ∠AOB 内部找一点P,使它到∠AOB 两边的 距离相等,且到点M、N 的距离也相等(不写作 法,保留作图痕迹). 典例1图 点拨:根据点P 到∠AOB 两边的距离相等以及 点P 到点 M、N 的 距 离 相 等 确 定 点P 在 ∠AOB 的平分线以及线段MN 的垂直平分线 上,再利用直尺和圆规作图. 解答: 解有所悟:到∠AOB 两边的距离相等的点在∠AOB 的平分线上;到点 M、N 的距离相等的点在线段 MN 的垂直平分线上. 典例2 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 分别交AB、BC 于点D、E,AC 的垂直平分线分 别交AC、BC 于点F、G. (1) 若△AEG 的周长为12,求BC 的长; (2) 若∠BAC=125°,求∠EAG 的度数. 典例2图 点拨:(1) 将△AEG 的周长转化为线段BC 的 长;(2) 先利用三角形全等证明∠B=∠DAE, ∠C=∠FAG,再求∠EAG 的度数. 解答: 解有所悟:(1) 利用线段垂直平分线的性质可实现 线段间的转化.(2) 垂直平分线与全等三角形“形影 相随”. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 84 典例3 如图,AD=BD,∠CAD+∠CBD= 180°.求证:CD 平分∠ACB. 典例3图 点拨:先过点D 作DE⊥CA 于点E,DF⊥CB 于点F,再证明DE=DF. 解答: 解有所悟:证明一条射线是角平分线,除了利用角平 分线的定义证明外,还可以在这条射线上找一点,然 后过这一点向角的两边作垂线段,再证明这两条垂 线段相等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 到三角形的三个顶点距离相等的点是 ( ) A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 2. 在三角形内找一点,使它到三条边的距离相 等,这个点应是 ( ) A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三条高所在直线的交点 3. 点P 在∠AOB 的平分线上,点P 到边OA 的距离等于4,Q 是边OB 上的任意一点,则 下列选项正确的是 ( ) A. PQ>4B. PQ≥4C. PQ<4D. PQ≤4 4. 如图,在△ABC 中,线段AB 的垂直平分线 MN 分别交AB、AC 于点M、N,连接BN. 若AC=6,BC=4,则△BCN 的周长为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 第4题 第5题 5. 如图,△ABC 的边AC 的垂直平分线DE 分 别交BC、AC 于点D、E,连接AD.若AE= 3,△ABD 的周长为13,则△ABC 的周长为 ( ) A. 26 B. 16 C. 19 D. 22 6. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线DE 分别与AB、BC 交于点D、E,AC 的垂直平 分线FG 分别与BC、AC 交于点F、G,BC= 10,EF=3,则△AEF 的周长是 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 第6题 第7题 7. 如图,O 是△ABC 三条角平分线的交点, AC=8,BC=12,AB=16,则 S△OAB ∶ S△OBC∶S△OAC 等于 ( ) A. 4∶3∶2 B. 5∶3∶2 C. 2∶3∶4 D.