22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

80 􀆽22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1. 二次项系数为1的一元二次方程x2+px+ q=0的两根为x1、x2,则有x1+x2= ,x1·x2= . 2. 二次项系数不为1的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则有x1+ x2= ,x1·x2= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知x1、x2是一元二次方程x2-3x- 4=0的两个实数根,求下面代数式的值. (1) 1 x1+ 1 x2 ; (2) (1+x1)(1+x2). 点拨: (1) 将分式进行通分再代入求值;(2) 运 用多项式乘法计算,再代入求值. 解答: 解有所悟:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两根为x1、x2,则x1+x2=- b a ,x1·x2= c a. 在解 题过程中,根据根与系数之间的关系可以不解方程 而求出与根有关的代数式的值.比如x12+x22= (x1+x2)2-2x1·x2, 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1·x2 ,(x1+ a)(x2+a)=x1·x2+a(x1+x2)+a2 等. 答案讲解 典例2 关于x 的方程x2+2(m- 1)x+m2-m=0有两个实数根α、β, 且α2+β2=12,则m 的值为 ( ) A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 点拨:∵ 关于x的方程x2+2(m-1)x+m2- m=0有两个实数根,∴ Δ=[2(m-1)]2-4× 1×(m2-m)=-4m+4≥0.∵ 关于x 的方程 x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α、 β,∴ α+β=-2(m-1),α·β=m2-m. ∴ α2+β2=(α+β)2-2α·β=[-2(m- 1)]2-2(m2-m)=12,即m2-3m-4=0,解 之即可得出答案,注意m 的取值范围. 解答: 解有所悟:运用根与系数的关系求字母的值的前提 是方程有实数根,即b2-4ac≥0,解答此类题时常常 会忽略此条件而出错.一元二次方程根与系数关系 的应用的关键是将相关的式子通过配方写成含两根 之和与两根之积的代数式的形式,然后将两根之和 与两根之积代入即可建立方程求字母的值. 典例3 已知一元二次方程2x2-mx-m=0的 一个根是x=-12 ,求m 的值和方程的另一 个根. 点拨:将方程的根x=-12 代入方程求出m 的 值,再运用两根之和(或两根之积)求另一个根. 解答: 解有所悟:解决这类含字母的一元二次方程问题时, 已知一个根,则可以把根直接代入方程求得字母的 值,然后结合根与系数的关系建立方程,从而求得另 一个根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 81 [基础过关] 1. 方程2x2+6x-1=0的两根为x1、x2,则 x1+x2的值为 ( ) A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 2. 已知x1 和x2 是一元二次方程x2-3x+ 2=0的实数根,则x1+x2-x1·x2的值为 ( ) A. 2 B. -1 C. 1 D. -2 3. (乐山中考)关于x 的一元二次方程3x2- 2x+m=0有两根,其中一根为x=1,则这 两根之积为 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. -13 4. 若a≠b,且a2-2a=3,b2-2b=3,则a+b 的值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 5. 若x=3是关于x的一元二次方程x2-x- b=0的一个根,则该方程的另一个根为 . 6. 已知a、b是方程x2-3x-5=0的两个根, 则1 a+ 1 b 的值为 . 7. 已知x1、x2是方程2x2-5x+1=0的两个 实数根,求下面各式的值: (1) x1·x22+x21·x2; (2) (x1-x2)2. [综合提升] 答案讲解 8. 若α、β是方程x2+2x-2024=0 的两个实数根,则α2+3α+β 的 值为 ( ) A. 2015 B. 2022 C. -2015 D. 4010 9. 若x1、x2是一元二次方程x2-kx+k-1= 0的两个实数根,且x1+x2=3,则k的值为