22.2.1 直接开平方法和因式分解法-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

72 22.2　一元二次方程的解法 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 1. 一般地,对于方程x2=p(p ),它的 两个实数根为x1= ,x2= ; 而对于方程(mx+n)2=p(m , p ),可以转化为两个一元一次方 程: 和 ,进而求 出方程的两个根. 2. 因式分解法:因式分解法是利用因式分解求 出一元二次方程的解的方法.例如:对于关 于x的方程x2-a2=0,将方程左边分解因 式得(x+a)(x-a)=0,则有 =0 或 =0,得到x1= ,x2= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 用直接开平方法解下列方程: (1) 4x2-25=0; (2) (x-2)2-9=0; (3) (2x+3)2-81=0; (4) (y+2)2=(3y-1)2. 点拨:第(1)题化为x2=p 的形式;第(2)(3)题 化为(mx+n)2=p 的形式;第(4)题根据|y+ 2|=|3y-1|可求方程的根. 解答: 解有所悟: 如果一个一元二次方程具有(x+n)2= p(p≥0)的形式,就可以用直接开平方法求解,方程 的解为x1=-n- p,x2=-n+ p. 典例2 用因式分解法解下列方程: (1) x2-4x=0; (2) x2-1=2(x+1); (3) 2(2x+1)2=4x+2; (4) 5(3x-1)2=2(1-3x). 点拨:先将所有式子移到方程的左边,右边为0, 再将代数式分解因式. 解答: 解有所悟:用因式分解法解一元二次方程时要注意 两点:(1) 方程的左边写成两个因式相乘的形式,方 程的右边为0;(2) 当方程两边都有含未知数的公因 式时,不能直接约去公因式,只能移项再分解因式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 方程x2-9=0的根为 ( ) A. x1=3,x2=0 B. x1=-3,x2=0 C. x1=3,x2=-3 D. 无实数根 2. 一元二次方程x(x-2)=x的根是 ( ) A. x=0或x=3 B. x=0 C. x=0或x=2 D. x=2 3. 若关于x的方程(x-2)2=1-m 没有实数 根,则m 满足的条件是 ( ) A. m>2 B. m<2 C. m>1 D. m<1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 73 4. 如图所示为一个简单的数值运算程序,则输 入的x的值为 ( ) 第4题 A. ±2 B. ±3 C. 3或-1 D. 2或-1 5. 方程x2-3x=0的解为 . 6. 解一元二次方程的基本思想是降次,即把二 次方程化成一次方程求解.一元二次方程 (x+3)2=25可以化为两个一元一次方程, 其中一个一元一次方程是x+3=5,那么另 一个一元一次方程是 . 7. 方程x(x+5)=-x-5的根为 . 8. 解方程: (1) x2=49; (2) (x-3)2=4; (3) x(2x-5)=2x-5; (4) x2-4=3(x+2). [综合提升] 9. 若(a2+b2-2)2=25,则a2+b2的值为 ( ) A. 7 B. 7或-3 C. -3 D. 27 答案讲解 10. 在实数范围内定义一种运算“*”, 其规则为a*b=a2-b2,根据这 个规则,方程(x+1)*3=0的根 为 . 11. 解方程: (1) 2(x+3)2-8=0; (2) (2x-1)(x+1)=(3x+1)(x+1); (3) 4(2x-1)2-36=0; (4) (3x-1)2=4(x+3)2. 答案讲解 12. 已知关于x 的方程2(x+a)2+ b=0的解是x1=-2,x2=1,求关 于x的方程2(x-4+a)2+b=0 的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈