21.1 二次根式-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

55 第21章　二次根式 21.1　二次根式 1. 二次根式的定义:形如 a(a )的式 子叫做二次根式. 2. 二次根式有意义的条件:在 a中,a 的取值 必须满足 ,即二次根式的被开方数 必须是 . 3. 二次根式的性质: (1) a 0(a 0); (2) (a)2= (a ); (3) a2= = a(a≥0), -a(a<0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列式子中,一定是二次根式的为 ( ) A. a B. 32 C. x2+1 D. -1 点拨:a中的a 可能是负数;32中根的指数是 3;由x2≥0,可知x2+1>0,即被开方数是正 数;-1中的-1是负数. 解答: 解有所悟:判断二次根式:(1) 看形式,含有二次根 号“ ”,而不能是“3 ”;(2) 看内容,被开方数必 须是非负数.注意被开方数可以是数、字母或含字母 的式子. 典例2 当x取什么实数时,下列各式有意义? (1) 2x-1; (2) -x2; (3) 2 2-3x ; (4) x-1+ 3-x. 点拨:第(1)(4)题直接根据被开方数是非负数 建立不等式(组)求范围;第(2)题被开方数-x2 是非正数,只有为零时才有意义;第(3)题被开 方数的分母不能为零,且只能为正数. 解答: 解有所悟:(1) 一般地,在求二次根式的被开方数中 字母的取值范围时,常将其转化为解不等式的问题; (2) 当被开方数是分式时,除了保证被开方数是非 负数外,还必须保证分母不能为零. 答案讲解 典例3 化简下列各式: (1) 252; (2) -107 2 ; (3) x2-4x+4(x<2). 点拨: (1) 直接利用性质 a2=a(a≥0)进行化 简;(2) 直接利用性质 a2=-a(a<0)进行化 简;(3) 需先将被开方数写成完全平方式的形 式,再根据条件化简. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 56 解有所悟:在化简二次根式时,能直接利用性质的, 利用性质去掉根号,不能直接利用性质的,则需转化 成能利用性质的形式,再去掉根号. 典例4 已知实数a在数轴上的位置如图所示, 则化简|a-2|+ (a-4)2的结果为 ( ) 典例4图 A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 点拨:根据实数a 在数轴上的位置,可知2< a<4,即a-2>0,a-4<0,再去掉绝对值符号 和根号即可. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (贵阳中考)若代数式 x-3在实数范围内有 意义,则x的取值范围是 ( ) A. x≥3 B. x>3 C. x≤3 D. x<3 2. 若 1-n是二次根式,则n的值可以是 ( ) A. -1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 实数5不能写成的形式为 ( ) A. 52 B. (-5)2 C. (5)2 D. - (-5)2 4. 若 (x-5)2=5-x,则x的取值范围是 ( ) A. x>5 B. x≥5 C. x<5 D. x≤5 5. 化简:(1- 3)2= . 6. (天津中考)计算(19+1)(19-1)的结果 是 . 7. 计算: (1) (-7)2; (2) (2.25)2. [综合提升] 8. 若 4a+1是整数,则a能取的最小整数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案讲解 9. (遂宁中考)实数a、b在数轴上的位 置如图所示,则|a+1|- (b-1)2+ (a-b)2的结果是 . 第9题 答案讲解 10. 请认真阅读下面这道例题的解法, 并完成后续题目. 例:若y= 2023-x+ x-2023+ 2024,求yx 的值. 解:由 x-2023≥0, 2023-x≥0, 解得x=2023.∴ y= 2024.∴ y x= 2024 2023. 题目:若 a-17+ 17-a=b+8,求: (1) a和b的值; (2) a2-b2的平方根. 􀥈 􀥈 􀥈 �