专题一选择合适的方法因式分解-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

27 专题一　选择合适的方法因式分解 因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式,分解因式必须要彻底,即分解到每一个 因式都不能再分解为止.首项有负先提负,各项有“公”先提“公”(公因式),一提(公因式)二套(公 式)要记牢,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”. 类型一 运用提公因式法因式分解 1. 将下列各式进行因式分解. (1) y(2a-b)+x(b-2a); (2) (a-3)2+2a-6; (3) x(x+y)(x-y)-x(x+y)2. 类型二 运用公式法因式分解 2. 将下列各式进行因式分解. (1) -16x2+y2; (2) (a2+1)2-4a2; (3) (x2+2)2-6(x2+2)+9. 类型三 先提公因式后运用公式法因式分解 3. 将下列各式进行因式分解. (1) xy2-4x; (2) 3x2-18xy+27y2; (3) a2(x-y)+4(y-x); (4) 9a2(x+2y)-x-2y. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 28 类型四 运用特殊方法因式分解 (一) 十字相乘法 4. 阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相 反的变形. 由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用 这个式子可以将某些二次项系数是1的二 次三项式分解因式. 例如:将式子x2+3x+2分解因式. 分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项系 数3=1+2. 解答:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2= (x+1)(x+2). 请仿照上面的方法,解答以下问题: (1) 分解因式:x2+5x-24= ; (2) 若x2+px+6可分解为两个一次因式 的积,求整数p的所有可能值. (二) 分组分解法 答案讲解 5. 常见的因式分解的方法有提公因式 法、公式法及十字相乘法,而有的多 项式既没有公因式,也不能直接运 用公式分解因式,但是某些项通过适当的调 整能构成可分解的一组,用分组来分解一个 多项式的因式,这种方法叫做分组分解法. 如x2+2xy+y2-16,我们细心观察这个式 子就会发现,前三项符合完全平方公式,分 解后与后面的部分结合起来又符合平方差 公式,可以继续分解,过程为x2+2xy+ y2-16=(x+y)2-42=(x+y+4)(x+ y-4).它并不是一种独立的因式分解的方 法,而是为提公因式或运用公式分解因式创 造条件. 根据以上内容,解答下列问题: (1) 分解因式:2a2-8a+8; (2) 请尝试用上面的方法分解因式:x2- y2+3x-3y; (3) 已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整 数,且满足2a2+b2-4a-6b+11=0,求 △ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 29 (三) 配方法 6. 阅读材料: 利用完全平方公式可以将一些形如ax2+ bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+ n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项 式ax2+bx+c(a≠0)的配方法,利用多项 式的配方法及平方差公式能对一些多项式 进行因式分解. 例如:x2+6x-7=x2+6x+9-9-7= (x+3)2-16=(x+3)2-42=(x+3+ 4)(x+3-4)=(x+7)(x-1). 根据以上材料,解答下列问题: (1) 分解因式(利用配方法):x2+8x+12; (2) 求多项式2x2+4x-1的最小值; (3) 比较a2-a+3与2a2-3a+5的大小, 并说明理由. (四) 换元法 答案讲解 7. 阅读材料: 将(x+y)2+2(x+y)+1进行因 式分解. 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原 式=A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”还原,