专题二 三角形全等模型归类-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

30 专题二　三角形全等模型归类 全等三角形的基本模型包括平移、对称、旋转和混合四种模型,除此之外一线三等角、对角互 补和半角模型是全等模型中较复杂的几种,往往需要根据题干条件,添加辅助线,构造三角形全 等解决问题,其本质是找角、定线、构全等. 类型一 平移模型 1. (淮安中考)如图,点A、D、C、F 在同一条直 线上,且 AD=CF,AB=DE,∠BAC= ∠EDF.求证:∠B=∠E. 第1题 类型二 对称模型 2. (广安中考)如图,D 是△ABC 外一点,连结 BD、AD,AD 与BC 交于点O.有下列三个 等式:① BC=AD;② ∠ABC=∠BAD; ③ AC=BD.请从这三个等式中,任选两个 作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成 一个真命题,将你选择的等式的序号填在下 面对应的横线上,然后对该真命题进行 证明. 已知: , . 求证: . 第2题 类型三 旋转模型 答案讲解 3. ★如图,△ABC 和△ADE 都是等边 三角形. (1) 将△ADE 绕点A 旋转到图② 的位置时,连结BD、CE 相交于点P,连结 PA.猜想线段PA、PB、PC 之间的数量关 系,并说明理由. (2) 将△ADE 绕点A 旋转到图③的位置 时,连结BD、CE 相交于点P,连结PA.猜 想线段PA、PB、PC 之间的数量关系,直接 写出结论,不需要证明. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 31 类型四 混合模型 4. 如 图 ①,△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠ACB=90°,AC=BC,D 是BC 边上任意 一点(不与点B、C 重合),连结AD,CF⊥ AD 于点E,交AB 于点F,BG⊥BC,交CF 的延长线于点G. (1) 求证:△CBG≌△ACD. (2) 如图②,当D 为BC 的中点时,其他条件 不变,连结DF,则∠BDF=∠CDE 吗? 若 相等,请写出证明过程;若不相等,请说明 理由. 第4题 类型五 一线三等角模型 5. 在直线m 上依次取互不重合的三 ∠BAC=∠AEC=α 个点D、A、E,在直线 m 上方有 AB = AC,且 满 足 ∠BDA = 答案讲解 . (1) 如图①,当α=90°时,猜想线段DE、 BD、CE 之间的数量关系: . (2) 如图②,当0°<α<180°时,问题(1)中的 结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明; 若不成立,请说明理由. (3) 如图③,当α=120°时,F 为∠BAC 平分 线上的一点,且AB=AF,连结FB、FD、FE、 FC.试判断△DEF 的形状,并说明理由. 第5题 类型六 对角互补模型 答案讲解 6. 小明在数学课外兴趣小组学习中 遇到一道题:如图①,∠MAN+ ∠DCB=180°,AC 平分∠MAN, 点B、D 分别在AN、AM 所在直线上. (1) 小明猜想:CD=CB,以下是小明的证明 过程,有两个步骤还空着,请你补充完整. 证明:过点C 分别作AM、AN 的垂线,垂足 分别为E、F. ∵ AC 平分∠MAN, ∴ = .(角平分线上一点 到这个角两边的距离相等) ∵ ∠MAN+∠DCB=180°,四边形ABCD 的内角和等于360°, ∴ ∠ADC+∠CBF=180°. 又∵ ∠ADC+∠CDE=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 ∴ = . 又∵ ∠CED=∠CFB=90°, ∴ △CED≌△CFB. ∴ CD=CB. (2) 如图②,当∠DCB 绕点C 逆时针旋转, CD 交MA 的延长线于点D,CB 交射线AN 于点B 时,请证明(1)中的结论CD=CB 依 然成立. (3) 如图③,若∠MAN