12.5 因式分解-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（华东师大版）

85 12.5　因式分解 1. 因式分解:把一个多项式化为几个 的形式,叫做多项式的因式分解. 2. 公 因 式:多 项 式 中 的 每 一 项 都 含 有 的 ,我们称之为公因式. 3. 提公因式法:如果一个多项式各项有公因 式,可以把这个公因式提出来,将多项式写 成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方 法,叫做提公因式法. 4. 公式法:利用乘法公式对多项式进行因式分 解的方法,叫做公式法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 用提公因式法分解因式: (1) 3x2y-6xy; (2) 5x2y3-25x3y2; (3) -4m3+16m2-26m; (4) 6x(x+y)-4y(x+y); (5) 3m(x-y)-2(y-x)2; (6) 18b(a-b)2-12(a-b)3. 点拨:先确定多项式中各项的公因式,再提取公 因式,注意公因式也可以是一个多项式. 解答: 解有所悟:(1) 确定公因式的方法:系数(整数)取最 大公因数,相同字母取最低次幂,只在一项中出现的 字母不能作为公因式的一个因式.(2) 若首项出现 负号,负号也要提出来.(3) 提出公因式后,另一个 因式为多项式与公因式的商;当某一项被完全提出 时,余下的是1,而不是什么也没有. 典例2 用公式法分解因式: (1) 1-4x2; (2) 4a2+4a+1; (3) x2-14x+49; (4) (4x-3y)2-25y2. 点拨:先确定平方差公式及两数和(差)的平方 公式中的“a”“b”,再利用平方差公式及两数和 (差)的平方公式分解因式,其中(4)注意分解要 彻底. 解答: 解有所悟:(1) 能运用平方差公式分解因式的多项 式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号 相反.(2) 能运用两数和(差)的平方公式分解因式 的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数 (或式)的平方和的形式,剩下的一项是这两个数(或 式)的积的2倍. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 86 典例3 把下列多项式分解因式: (1) x3-x; (2) a3-2a2b+ab2; (3) 3a3b-12ab; (4) -16a3+16a2b-4ab2; (5) (x2-2)2+6(2-x2)+9. 点拨:先观察多项式是否有公因式,有公因式要 先提出来,再考虑用平方差公式或两数和(差) 的平方公式分解因式,最后看是否还能继续分 解因式,分解一定要彻底. 解答: 解有所悟:分解因式的步骤:一提、二套、三检查,分 解不彻底是常出现的错误. 答案讲解 典例4 若三角形的三边长分别为a、 b、c,且满足(a-c)2+(a-c)b=0,则 这个三角形一定是 三角形. 点拨:本题考查了因式分解的应用,先把题目中 的等式左边分解因式,再根据三角形的三边关 系判断其形状. 解答: 解有所悟:因式分解的一个重要应用是判断三角形 的形状,将式子整理成乘积结果为0的形式,再结合 三角形的三边关系进行判断. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (济宁中考)下列各式从左到右的变形中,属 于因式分解的是 ( ) A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2 C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x 2. 在多项式8a3b2-4a3bc中,各项的公因式为 ( ) A. 4a3b B. 4a2b2 C. 4a3bc D. 4ab2 3. (河池中考)多项式x2-4x+4因式分解的 结果是 ( ) A. x(x-4)+4 B. (x+2)(x-2) C. (x+2)2 D. (x-2)2 4. 下列因式分解中,正确的是 ( ) A. x2-4y2=(x-4y)(x+4y) B. ax+ay+a=a(x+y) C. a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) D. 4x2+9=(2x+3)2 5. 把多项式3x3-6x2y+3xy2分解因式,结果 正确的是 ( )