22.2 二次函数与一元二次方程-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（人教版）

77 22.2　二次函数与一元二次方程 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当y= 0时,得到一元二次方程 ,那 么一元二次方程的根就是二次函数的图象 与 轴交点的 坐标. 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的根的情况:(1) 当图象与 x轴有两个交点时,这时b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (2) 当图象与x轴有一个交点时,这时b2- 4ac 0,则方程有 个 的实数根;(3) 当图象与x轴没有交点时,这 时b2-4ac 0,则方程 实数根. 3. 二次函数与一元二次方程有着密切的关系, 我们可以根据二次函数的图象近似地求一 元二次方程的 ,也可以通过解一元 二次方程求二次函数的图象与x 轴交点的 坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 二次函数y=-x2-2x+m 的部分图 象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x2- 2x+m=0的解为 ( ) 典例1图 A. x1=3,x2=1 B. x1=-3,x2=1 C. x1=3,x2=-3 D. x1=-3,x2=-1 点拨:根据二次函数的性质和图象中的数据,可以 得到该函数图象与x轴的两个交点的坐标,从而 可以得到一元二次方程-x2-2x+m=0的解. 解答: 解有所悟:已知抛物线与x 轴的一个交点坐标和对 称轴时,就可以利用抛物线的对称性求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标,从而得到对应的一元二次 方程的根,此种方法特别方便. 典例2 利用二次函数图象求一元二次方程 2x2-2x+4=7的根的近似值(结果精确到0.1). 点拨:根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图 象与x轴的交点的横坐标就是所对应的一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,把原方程 化为一元二次方程的一般式.根据方程写出对 应的二次函数解析式,画出函数图象,通过观察 函数图象与x轴交点的横坐标即可求出方程的 根的近似值. 解答: 解有所悟:用图象法求一元二次方程的根的近似值, 是通过画函数图象来解答,体现了数形结合思想. 典例3图 典例3 如图,抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)与x 轴交于点(4, 0),其对称轴为直线x=1,结合图 象直接写出不等式ax2+bx+c≥ 0的解集为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 78 点拨:函数图象的对称轴为直线x=1,与x 轴 的一个交点坐标是(4,0),则另一个交点坐标是 (-2,0),进而观察图象求解. 解答: 解有所悟:利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象解一元二次不等式,图象在x 轴上方部分对应 的x 的取值范围即为不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 的解集,图象在x 轴下方部分对应的x 的取值范围 即为不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+ bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的 范围时,为精确到0.01,进行了试算如下表: x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 由此确定这个解的范围是 ( ) A. 3.25<x<3.26 B. 3.24<x<3.25 C. 3.23<x<3.24 D. 3<x<3.23 2. 抛物线y=ax2+c 与直线y=kx 交于 A(-3,-6),B(1,2)两点,则关于x的不等 式ax2-kx+c>0的解集是 ( ) A. x<-3或x>1B. x<-6或x>2 C. -3<x<1 D. -6<x<2 答案讲解 3. 已知抛物线y=x2-2x-1与x轴 的一个交点坐标为(m,0),则代数 式m2-2m+2022的值为 ( ) A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023 4. 已知抛物线y=-3x2+bx+c经过点A(0, 2),B(4,2),则不等式-3x2+bx+c<2的 解集是 . 5. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0