21.3 实际问题与一元二次方程3-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（人教版）

63 21.3　实际问题与一元二次方程3 面积问题属于几何图形的应用题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图 形,找出未知量与 的内在联系,根据 公式列出一元二次方程. 典例1 如图,在一个长为60m、宽为40m的矩 形场地内修筑两条等宽的道路,剩余部分为绿 化用地.如果绿化用地的面积为2204m2,那么 道路的宽为 m. 典例1图 点拨:设道路的宽为xm,则剩余部分可合成长 为(60-x)m、宽为(40-x)m的矩形,根据绿 化用地的面积为2204m2,可得出关于x 的一 元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出 结论. 解答: 解有所悟:对于部分不规则图形,可以通过平移、旋 转等变换,转化为规则图形来解决问题. 典例2 如图,有长为22m的篱笆,一面利用墙 (墙的最大可用长度为14m),围成中间隔有一 道篱笆的矩形花圃ABCD,为了方便出入,在建 造篱笆花圃时,在BC 上用其他材料造了两个 宽为1m的小门. (1) 若此时矩形花圃的面积刚好为45m2,求 AB 的长. (2) 能围成面积刚好为54m2 的矩形花圃吗? 若能,请求出AB 的长;若不能,请说明理由. 典例2图 点拨:(1) 设AB 的长为xm,则BC 的长为 (22+2-3x)m,根据矩形花圃的面积为45m2, 即可得出关于x 的一元二次方程,解之即可得 出x的值,再结合墙的最大可用长度为14m, 即可得出AB 的长;(2) 设AB 的长为ym,则 BC 的长为(22+2-3y)m,根据矩形花圃的面 积为54m2,即可得出关于y的一元二次方程, 根据根的判别式判断该方程是否有解,从而判断 是否能够围成面积刚好为54m2的矩形花圃. 解答: 解有所悟:一面靠墙围矩形,其本质是另外各边边长 之和等于篱笆长+门的宽度. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 典例3 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=6cm,BC=8cm,点P 从点A 出发,以每 秒1cm的速度沿AC 运动;同时点Q 从点C 出 发,以每秒2cm的速度沿CB 运动,当点Q 到 达点B 时,点P 同时停止运动.设运动的时间 为ts. (1) 当t为何值时,△PCQ 的面积为5cm2? (2) 当t为何值时,△PCQ 中PQ=6cm? (3) △PCQ 的面积能否等于10cm2? 若能,求 出运动时间;若不能,请说明理由. 典例3图 点拨:(1) 分别用含t的式子表示出线段CP 和 线段CQ 的长,再利用三角形的面积公式列出 方程求解即可;(2) 根据题意列方程即可得到 结论;(3) 先由题意列出关于t的一元二次方 程,再由根的判别式可得出答案. 解答: 解有所悟:对于此类几何图形中的动点问题,常用含 运动时间t的代数式表示其中线段的长度,一般通 过三角形的面积、勾股定理列一元二次方程,从而找 出符合题意的时间点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行 绿化,绿化后一边减少了3m,另一边减少了 2m,剩余面积为30m2 的矩形空地,则原正 方形空地的边长为 ( ) 第1题 A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m 2. 直角三角形两条直角边长的和为7,面积是 6,则斜边长是 ( ) A. 37 B. 5 C. 38 D. 7 3. 在高度为2.8m的一面墙上,准备开凿一个 矩形窗户,现用9.5m长的铝合金条制成 如图所示的窗框.当矩形窗户的宽AB 为 m时,其透光面积为3m2(铝合金 条的宽度忽略不计). 第3题 4. ★某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有 墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如 图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中 的材料可建墙(不包括门)的总长为27m,则 当建成的饲养室总占地面积是75m2 时,垂 直于现有墙的墙长是 m. 第4题 5. 将一根长为56cm的铁丝剪成两段并把每一 段铁丝做成一个正方形,使这两个正方形的 面积之和等于100cm2,则较小的一个正方 形的边长为