21.2 解一元二次方程1-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（人教版）

53 21.2　解一元二次方程1 1. 根据平方根的意义直接 来求一元 二次方程的解的方法,叫做直接开平方法. 2. 直接开平方法步骤:(1) 将方程转化为x2= p(p≥0)或(nx+m)2=p(p≥0)的形式; (2) 直接开平方得到两个 ; (3) 解这两个 得到原方程的 两个根. 3. 把一元二次方程左边配成一个含有未知数 的 ,右边是一个 ,进 而可用 来求解,这种通过配成 完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫 做配方法. 4. 用配方法解一元二次方程的步骤:(1) 把原 方程化为 的形式;(2) 方程两边同 除以 ,使二次项系数为 ,并 把常数项移到方程 ;(3) 方程两边 同时加上 ;(4) 把左边配成 一个 ,右边化为一个常数;(5) 如 果右边是 ,那么就可以进一步通过 直接开平方法来求出它的解,如果右边是一 个 ,那么判定此方程无实数解. 5. 把 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 6. 用 解一元二次方程的方法是公 式法. 7. 用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1) 把方程化成 ,进而确定a,b,c的 值;(2) 求出 的值;(3) 在 的前提下,把a,b,c的值代入公式进行计 算求出方程的根.注意:用公式法解一元二 次方程的前提条件有两个:① ; ② . 8. 因式分解法就是利用 求出方程的 解的方法. 9. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1) 移项,使方程的右边化为 ; (2) 将方程的左边分解为两个一次因式的 ;(3) 令每个因式分别为零,得到两 个一元一次方程;(4) 解这两个一元一次方 程得到原方程的两个根. 10. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与Δ=b2-4ac有如下关系:(1) 当Δ>0 时,方程有两个 的实数根;(2) 当 Δ=0时,方程有两个 的实数根; (3) 当 时,方程无实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 选用适当的方法解下列方程: (1) 2(1-x)2-8=0; (2) x2-4x-3=0; (3) 2x2-6x-1=0; (4) 3x(x+2)=5(x+2). 点拨:(1) 利用直接开平方法解方程得出答案; (2) 利用配方法求解即可;(3) 利用公式法解方 程得出答案;(4) 直接利用提取公因式法分解 因式进而解方程即可. 解答: 解有所悟:要根据一元二次方程的特点来选择解法, 优先选择直接开平方法和因式分解法,其次是公式 法和配方法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 54 典例2(1) 已知关于x 的一元二次方程(m- 2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有两个相等的实数根,则m 的值为 ; ② 若该方程有两个不等的实数根,则m 的取值 范围是 ; ③ 若该方程无实数根,则 m 的取值范围是 . (2) 已知关于x的方程(m-2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有实数根,则 m 的取值范围是 ; ② 若该方程有两个实数根,则m 的取值范围是 . 点拨:(1) 该方程为一元二次方程,二次项系数 不为零.当方程有两个不等的实数根时,Δ>0; 当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当方程无 实数根时,Δ<0.(2) ① 当m-2=0,即m=2 时,原方程为一元一次方程,有一个实数根;当 m-2≠0时,由根的判别式的意义得到Δ≥0, 然后综合两种情况得到m 的取值范围.② 当方 程有两个实数根时,方程一定为一元二次方程, 由根的判别式的意义得到m-2≠0且Δ≥0即 可求解. 解答: 解有所悟:当方程ax2+bx+c=0中的a 不确定是 否为零时,需要分类讨论,原方程可能是一元一次方 程也可能是一元二次方程;若已知方程有两个根,则 该方程一定是一元二次方程,此时要注意a≠0. 典例3 阅读材料: 在求多项式x2+4x+8的最小值时,小明 的解法如下:x2