专题四 中点模型与角平分线模型-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（人教版）

33 专题四　中点模型与角平分线模型 中点与角平分线分别是线段与角中具有特殊位置的点和线,与中点有关的重要知识点有三 角形的中位线、直角三角形斜边上的中线、线段的垂直平分线,还有一种重要的辅助线作法——— 倍长中线法;角平分线与利用角平分线为对称轴构造全等三角形、等腰三角形的三线合一有密切 联系,中点与角平分线为题目提供了很多隐性条件,通过借助现有的知识及恰当的辅助线可把隐 性条件转化为显性条件,从而顺利解决问题. 类型一 中点模型 (一) 中位线模型 ⦾ 两中点+连接第三边=中位线 1. 如图,在矩形ABCD 中,R,P 分别是DC, BC 上的点,E,F 分别是AP,RP 的中点.当 点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不 动时,下列结论成立的是 ( ) A. 线段EF 的长逐渐增大 B. 线段EF 的长逐渐减小 C. 线段EF 的长不改变 D. 线段EF 的长先增大后减小 第1题 第2题 2. 如图,在四边形ABCD 中,E,F 分别是边 AB,AD 的中点,BC=5,CD=3,EF=2, ∠AFE=45°,则∠ADC= . 答案讲解 3. 如图,菱形ABCD 的边长为10,对 角线BD 的长为16,E,F 分别是边 AD,CD 的中点,连接EF 并延长, 与BC 的延长线相交于点G,则EG 的长为 . 第3题 第4题 4. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, BC=8,N 是边BC 上一点,M 为边AB 上 的动点,D,E 分别为CN,MN 的中点,则 DE 长的最小值是 . ⦾ 已知一中点+再取一中点=中位线 5. 如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是 AE 的中点,CF 交BE 于点G.若BE=3,则 GE= . 第5题 第6题 6. 如图所示为一个对角线相等的四边形 ABCD,E,F 分别为AB,CD 的中点,EF 分 别交对角线BD,AC 于点M,N,∠OMN = 40°,则∠MON= . 7. 如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,E,F 分别是边DC,AB 的中点,FE 的延长线分 别与AD,BC 的延长线交于点H,G.求证: ∠AHF=∠BGF. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 ⦾ 两中点+连线=中位线 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC.M,N 分别是 AB,AC 的中点,D,E 为BC 上的点,连接 DN,EM.若AB=5,BC=6,DE=3,则涂 色部分的面积为 . 第8题 第9题 答案讲解 9. 将连接四边形对边中点的线段称为 “中对线”.如图,四边形ABCD 的 对角线AC=BD=8,∠1=60°,E, F,G,H 分别为AB,BC,CD,AD 的中点, 则该四边形“中对线”HF 的长为 . 10. 如图,AC,BD 是四边形ABCD 的对角线, E,F 分别是AD,BC 的中点,M,N 分别是 BD,CA 的中点.求证:EF,MN 互相平分. 第10题 (二) 斜边上的中线 11. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC=90°,∠DAC=45°,∠BAC=30°, E 是AC 的中点,连接BE,BD,则∠DBE 的度数为 ( ) 第11题 A. 10° B. 12° C. 15° D. 18° 12. 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在边 AB 上,连接CD,∠ADC=2∠A,AC=4, BC=5,则CD= . 13. 如图,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°, E,F 分别是AC,BD 的中点.若AC=2,则 EF 的长是 . 第13题 (三) 倍长中线法 答案讲解 14. (1) 课外兴趣小组活动时,老师提 出了如下问题:如图①,在△ABC 中,若AB=13,AC=9,求边BC 上的中线AD 长的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的 解决方法:延长AD 至点E,使DE=AD, 连接BE,容易证得△ADC≌△EDB,再由 “三角形的三边关系”可求得AD 长的取值 范围是 . 解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条 件,可考虑延长中线构造全等