专题七 新定义题型问题-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（人教版）

51 专题七　新定义题型问题 新定义题型的特点是引入了新的概念、新的模型或新的运算,其实质是制定了一种新“规则” (包括运算、解方程或不等式、判断或推理方式等).解决此类问题,首先要准确理解给出的新定 义,明确题目所涉及的知识点,把它转化为我们所熟知的数学问题,再用我们现有的知识解决. 类型一 数与式中的新定义题型 1. 对于有理数a,b,定义a☉b=2a-b,则将 [(x-y)☉(x+y)]☉3x化简后得 ( ) A. -x+y B. -x-6y C. -x+6y D. -x+4y 2. 定义:使等式2ab=12 (a+b)-2成立的一 对有理数a,b称为“伴随数对”,记为(a,b). 例如:数对2,-27 ,-54,78 都是“伴随数 对”.若5是“伴随数对”中的一个有理数,则 这个“伴随数对”是 ( ) A. 5,119 B. 5,919 C. 5,119 或 119,5 D. 5,919 或 919,5 3. 定义:若a+b=n,则称a与b是关于数n的 “平衡数”.例如:3与-4是关于-1的“平衡 数”,5与12是关于17的“平衡数”.现有 a=3x2-10kx+12与b=-3x2+5x-2k (k为常数)始终是关于数n的“平衡数”,则 n的值为 ( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 4. 现规定一种运算:a*b=ab-a2-|-b|+ 1,那么3*4= . 5. 对于实数a,b,定义min{a,b}:当a<b时, min{a,b}=a;当a≥b时,min{a,b}=b.例 如:min{1,-2}=-2.已知min{21,a}= 21,min{21,b}=b,且a和b为两个连续 正整数,则a-b的平方根为 . 答案讲解 6. 对于数轴上不同的三个点M,N,P, 若满足PM=kPN,则称P 是点M 关于点N 的“k倍分点”.例如:在如 图所示的数轴上,点M,N 表示的数分别是 -2,1,可知O 是点M 关于点N 的“2倍分 点”,O也是点N 关于点M 的“12 倍分点”. 第6题 在数轴上,已知点A 表示的数是-4,点B 表示的数是2. (1) 若点C 在线段AB 上,且C 是点A 关于 点B 的“5倍分点”,则点C 表示的数是 . (2) 若点D 在数轴上,AD=10,且D 是点B 关于 点 A 的“k 倍 分 点”,则k 的 值 为 . (3) 点E 从点B 出发,以每秒3个单位长度 的速度沿数轴正方向运动.当点E 运动t秒 时,在A,B,E 三个点中,恰有一个点是另一 个点关于第三个点的“1 2 倍分点”,则t的值 为 . 类型二 方程（组）及不等式（组）中的新定 义题型 7. 定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 b=ap+bq,等式右边是常用的乘法和加法 运算.若3⊕2=5,1⊕ (-2)=-1,则 (-3)⊕1的值为 ( ) A. -2 B. -4 C. -7 D. -11 8. 定义:如果两个一元一次方程的解互为相反 数,那么称这两个方程为“兄弟方程”.例如: 方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”.若 关于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+ 4=0为“兄弟方程”,则m 的值为 . 9. 定义:把b-a的值叫做不等式组a≤x≤b 的“长度”.若关于x 的一元一次不等式组 x+a≥0, x-2a+3≤0 的解集的“长度”为3,则a= . 10. 新定义:对非负实数x“四舍五入”到个位的 值记为<x>,即当n 为非负整数时,如果 n-12≤x<n+ 1 2 ,那么<x>=n;反之,当n 为非负整数时,如果<x>=n,那么n-12≤ x<n+12. 例 如:<0>= <0.48>=0, <0.64>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>= <4.12>=4.试解决下面的问题: (1) 如果<x-2>=3,那么实数x的取值范 围是 ; (2) 若关于x 的不等式组 2x-4 3 ≤x-1 , <2a-1>-x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的整数解恰好有3个,则a 的取值范围是 . 答案讲