12.3 角的平分线的性质-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（人教版）

85 12.3　角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质:角的平分 线上的 到角的两边的 相等.用数学符号语 言表示:如图,∵ 点P 在∠AOB 的平分线 上,PD⊥OA,PE⊥OB,∴ . 2. 角的平分线的判定:角的内部到角的两边的 的点在角的平分线上.用数学符号 语言表示:如图,∵ PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE,∴ . 3. 三角形的三条角平分线交于三角形内的一 点,并且这一点到三条边的距离 . 4. 证明一个几何命题的步骤: (1) 明确命题中的 和 ; (2) 根据题意,画出图形,并用符号表示 和 ; (3) 经过分析,找出由已知推出要证的结论 的途径,写出证明过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,OC 平分∠AOB,P 是OC 上一 点,PH⊥OB 于点H,Q 是射线OA 上的一个 动点.若 PH =5,则 PQ 长 的 最 小 值 为 . 典例1图 点拨:当PQ⊥AO 时,PQ 的长最小.依据角的 平分线的性质,即可得到PQ 长的最小值. 解答: 解有所悟:利用角的平分线的性质解决问题的关键是 确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段:(1) 若 已知条件存在这两条垂线段,则直接得出垂线段相 等;(2) 若已知条件存在一条垂线段,则考虑通过作 辅助线补出另一条垂线段;(3) 若已知条件不存在 垂线段,则考虑通过作辅助线补出两条垂线段. 典例2 如图,BF⊥AC 于点F,CE⊥AB 于点 E,BF 和CE 交于点D,且BE=CF.求证:AD 平分∠BAC. 典例2图 点拨:先根据“AAS”得出△BDE≌△CDF,即 可得到DE=DF,由此可得出结论. 解答: 解有所悟:证明角的平分线的两种方法:(1) 证明两 个三角形全等,得到对应角相等,可得角的平分线; (2) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上. 典例3 求证:全等三角形对应角的平分线的长 相等. 点拨:首先将文字命题改写成用数学符号语言 表示的已知和求证,然后进行证明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 86 解答: 解有所悟:1. 为了便于分清命题中的已知和求证, 可以将命题改写成“如果……那么……”或“若…… 则……”的形式.2. 根据命题的题设,结合图形写出 已知;根据命题的结论,结合图形写出求证. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 点P 在∠AOB 的平分线上,点P 到边OA 的距离为4,Q 是边OB 上的任意一点,则下 列各项正确的是 ( ) A. PQ>4 B. PQ≥4 C. PQ<4 D. PQ≤4 2. 在正方形网格中,M,N,P,Q 均是格点, ∠AOB 的位置如图所示,则到∠AOB 的两 边距离相等的是 ( ) 第2题 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 3. 如 图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD =DC, ∠BAC=80°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 第3题 第4题 4. 如图,O 是△ABC 内一点,且点O 到△ABC 的三边AB,BC,CA 的距离相等,即OF= OD=OE.若∠BAC=66°,则∠BOC 的度 数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 123° D. 125° 5. (株洲中考)如图,点O 在一把直角三角尺 ABC 上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB 于点 M,ON ⊥BC 于点 N.若 OM =ON,则 ∠ABO= . 第5题 6. 如图,有三条两两相交的公路,要建一个加 油站,使它到三条公路的距离相等,那么加 油站可建的地点有 个. 第6题 7. (北京中考)如图,在△ABC 中,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则 S△ACD= . 第7题 8. 如图,AB∥CD,O 为∠BAC 与∠ACD 的平 分线的交点,过点O 作OE⊥AC 于点E, OG⊥CD 于点G,延长GO 交AB 于点F.若 OE=2,则FG= . 第8题