专题五 四边形中常添的辅助线-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

35 专题五　四边形中常添的辅助线 四边形中添加辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直,添加辅助线后,可构造全等三角 形、直角三角形、平行四边形等图形,将难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题 进行处理.其常用方法有以下几种:(1) 连结对角线或平移对角线;(2) 通过连结或延长构造全等 三角形;(3) 已有一组平行线或涉及线段中点的,常构造平行四边形;(4) 过顶点作对边的垂线构 造直角三角形;(5) 涉及线段中点或平行四边形的对角线交点的,常构造三角形的中位线. 类型一 连结对角线 1. 如图,在▱ABCD 中,E,F 是对角线AC 上 的两点,且 AE=CF.若 EF=2AE=2, ∠ACB=45°,且BE⊥AC,求▱ABCD 的 面积. 第1题 类型二 构造全等三角形 答案讲解 2. 如图,在四边形ABCD 中,∠BCD= 2∠BAD,O 是四边形ABCD 内一 点,且OA=OB=OD. (1) 求证:∠BOD=∠BCD; (2) 若BC=CD,求证:四边形OBCD 是 菱形. 第2题 3. ★如图,正方形ABCD 的边长为2,点E,F 分别在边AD,CD 上.若∠EBF=45°,求 △EDF 的周长. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 类型三 构造平行四边形 第4题 4. 如图,在等边三角形ABC 中, P 为边AB 上的一点,Q 为边 AC 上的一点,且AP=CQ, M 是线段PQ 的中点,连结 AM,PC.若AM=19cm,则 PC= cm. 答案讲解 5. 如图,分别以△ABC 的边AB,AC 为边向△ABC 外作正方形ABEF 和正方形ACNM,D 是BC 的中 点,连结AD,FM. (1) 求证:FM=2AD; (2) 若AB=6,AC=8,∠BAC=60°,求多 边形BCNMFE 的面积. 第5题 类型四 构造直角三角形 6. 如图,P 为矩形ABCD 内一点,且PA=4, PB=1,PC=5,求PD 的长. 第6题 答案讲解 7. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC= ∠ADC=90°,AD =CD.求 证: AB+BC=2BD. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 37 8. 已知四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 交于点O. (1) 如图①,若AC=8,BD=6,DM⊥AB 于点M,求DM 的长. (2) 如图②,F 是AC 上一点,连结BF,过点 F 作GF⊥BF,过点D 作DE⊥GF 于点E. 若DE=4,EF=3,求BD 的长. 第8题 类型五 构造中位线 9. 如图,在△ABC 中,延长BC 至点D,使得 CD=12BC ,过AC 的中点E,作EF∥CD (点F 在点E 的右侧),且EF=BC,连结 DF.若AB=4,则DF 的长为 ( ) 第9题 A. 3 B. 2 C. 22 D. 3 答案讲解 10. 如图,在四边形ABCD 中,AD 与 BC 不平行,F 为CD 的中点,E 为 AB 的中点,则 ( ) 第10题 A. AD+BC<2EF B. AD+BC>2EF C. AD+BC=2EF D. 无法确定AD+BC 与 2EF 的大小关系 11. ★如图,BD,AC 是四边形ABCD 的对角 线,E,F,G,H 分别是线段AD,DB,BC, AC 的中点. (1) 求证:线段EG,FH 互相平分. (2) 当四边形ABCD 满足什么条件时,EG⊥ FH? 请说明理由. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈