专题四 配方法的应用-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

32 专题四　配方法的应用 先运用配方法将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形,构造出一个或几个完 全平方式的和,再利用完全平方式的非负性或其他条件解决问题,这种解题方法叫做配方法.这 种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用.配方法的实质在于改变式子的原有结构, 因此配方法是变形求解的一种手段.配方法的作用在于揭示代数式的非负性,因此配方法是挖掘 隐含条件的有力工具.运用配方法解题的关键在于“配凑”“拆项”和“添项”.在初中数学中,配方 法有以下几种常见应用:(1) 解一元二次方程;(2) 求字母的值;(3) 比较大小;(4) 证明代数式非 负;(5) 求代数式的最值. 类型一 利用配方法解一元二次方程 1. 在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配 方,甲的做法如图①所示,乙的做法如图② 所示.对于两人的做法,下列说法正确的是 ( ) 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=2, (2x+2)2=2. ① 2x2+4x=-1, x2+2x=-12 , x2+2x+1=-12+1 , (x+1)2=12. ② 第1题 A. 两人都不正确 B. 甲正确,乙不正确 C. 甲不正确,乙正确 D. 两人都正确 2. 已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x- p)2=7的形式,则p+q的值为 . 3. 对于任意实数a,b定义:a*b=2a(a+b)+ b.若x*4=46,则实数x的值是 . 4. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二 次方程时,都要先把二次项系数化为1,再 进行配方,现请你阅读如下解方程2x2- 22x-3=0的过程: 解:2x2-22x-3=0,则(2x)2-22x+ 1=3+1.∴ (2x-1)2=4.直接开平方,得 2x-1=±2.∴ x1=- 2 2 ,x2= 32 2 . 按照上面的方法,解方程:3x2-26x=2. 类型二 利用配方法求代数式中字母的值 5. 若实数a,b满足a2+4b2-a+4b+54=0 , 则a-b的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -12 答案讲解 6. 若1 4m 2+14n 2=n-m-2,则2m- 2 n 的值为 ( ) A. -2 B. 0 C. -1 D. -14 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 33 7. 已知△ABC 的三边的长分别为a,b,c,它们 都是正整数,且a,b满足2a2+b2-4a-6b+ 11=0,则△ABC 的周长是 . 8. 若△ABC 的三边长a,b,c满足a2+b2+ c2=6a+8b+10c-50,利用所学知识判定 △ABC 的形状. 答案讲解 9. 设a,b,c 是实数,若a+b+c= 2a+1+4b+1+6c-2-14, 求a-2b+c的值. 类型三 利用配方法比较大小 10. 若代数式 M=3x2+8,N=2x2+4x,则 M,N 的大小关系是 ( ) A. M≥N B. M≤N C. M>N D. M<N 答案讲解 11. 已知a,b满足等式x=a2-6ab+ 9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大 小关系是 ( ) A. x=y B. x>y C. x<y D. x≥y 12. ★(1) 如图①所示为边长是a的正方形,保 持正方形的一边不变,将另一边增加4,得 到如图②所示的矩形,此矩形的面积为S1; 将图①中的正方形的边长增加2,得到如图 ③所示的新正方形,此正方形的面积为S2. 用含a的代数式分别表示S1,S2,然后请用 作差法比较S1与S2的大小. (2) 已知A=2a2-6a+1,B=a2-4a-1, 请用作差法比较A 与B 的大小. 第12题 类型四 利用配方法验证代数式的值的符号 13. 对于任意实数x,多项式x2-5x+7的 值是 ( ) A. 负数 B. 非正数 C. 正数 D. 无法确定正负的数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈