第02讲 函数的单调性与最大（小）值（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第02讲 函数的单调性与最大（小）值 知识点1增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点2 函数的单调区间 1.定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【特别提醒】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 2. 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点3 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点4 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M， ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点5 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【典例1】根据定义证明函数在区间上单调递增. 【变式1-1】（浙江高一期末）已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数在区间上的值域． 【变式1-2】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数． 【题型2 性质法判断函数的单调性】 【典例2】（2022秋•隆回县期末）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　） A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝2x D．f（x）＝ 【变式2-1】（2023春•江西月考）函数的单调递增区间为 　 　． 【变式2-2】（2022秋•浦东新区校级期末）函数的增区间为 　 　． 【变式2-3】（2022秋•向阳区校级期中）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【变式2-4】（2023春•周至县校级期中）当x＞0时，，则f（x）的单调递减区间是（　　） A．（2，+∞） B． C． D．（0，2） 【题型3 分类常数法判断函数的单调性】 【典例3】（2022秋•沙坪坝区校级期中）函数y＝x2﹣2|x|+1的单调递增区间是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）和（1，+∞）