2.4第2课时角平分线的性质与判定（十大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》 2.4 线段、角的轴对称性 第2课时 角平分线的性质与判定 知识点一 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 知识点二 角的平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知识点二 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 题型一 利用角平分线的性质解决求线段长问题 【例题1】（2023春•沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 解题技巧提炼 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 【变式1-1】（2023•惠安县模拟）如图，△ABC中∠A的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【变式1-2】（2023春•秀峰区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】（2023春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式1-4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型二 利用角平分线的性质解求周长问题 【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 解题技巧提炼 求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换． 【变式2-1】（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 题型三 利用角平分线的性质解决最值问题 【例题3】（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧提炼 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值. 【变式3-1】（2022秋•石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（2022秋•垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上