专题一 绝对值与数轴-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（浙教版）

30 专题一　绝对值与数轴 在求代数式的值、化简代数式及之后证明恒等式与不等式、求解方程时,经常会遇到含有绝 对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义及性质解决与绝对值相关的化简与求值问题. 此类问题的常见题型如下:① 利用绝对值的非负性求字母的值;② 已知字母的取值范围,对代数 式进行化简求值;③ 通过分类讨论确定绝对值内代数式的正负,对代数式进行化简与求值;④ 数 形结合求与绝对值相关的最值问题.数轴是一个非常重要的数学工具,它能使数和数轴上的点建 立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础. 类型一 利用绝对值的非负性求字母的值 1. 若|x-1|+|y+3|=0,则y-x- 1 2 的值为 ( ) A. -412 B. -212 C. -112 D. 112 2. 已知|x-1|+|y+2|+|z-3|=0,则(x+ 1)(y-2)(z+3)的值为 . 3. 当x= 时,-|1+x|-5的值最大. 4. 当4x+2y+3= 时,|2x+y|+1 的值最小. 5. 已知|2a+b|与 3b+12互为相反数,求 2a-3b的平方根. 答案讲解 6. ★已知|ab+2|+|a+1|=0.求: (1) a,b的值; (2) 1 (a-1)(b+1)+ 1 (a-2)(b+2)+ …+ 1 (a-2023)(b+2023) 的值. 类型二 根据字母的取值范围和绝对值的代数 意义,对含绝对值的代数式进行化简 7. 已知a<-1,则|a-1||a|-1 的值 ( ) A. 等于1 B. 小于0 C. 等于-1 D. 大于0 8. 若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2a-3D. 3-2a 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 31 9. 若2<x<5,则|x-2|-|5-x|= . 10. 若a<b,b>0,则|b+1|-|a-b|= . 11. 已知y<0,x=|y|.化简:|y|+|-2y|- |3y-2x|-2y. 12. 实数a,b,c在数轴上的位置如图所示. (1) b-c 0,a+b 0,c-a 0(填“>”“<”或“=”); (2) 化简:|b-c|+|a+b|-|c-a|. 第12题 13. 已知a+b+c=0,且a>0,c<0,|a|<|c|. (1) 计算:|a| a = ,|ac| ac = ; (2) 请比较b与0的大小,并求出|b+c|a + |a+c| b + |a+b| c 的值. 类型三 通过分类讨论化简含绝对值的代 数式 答案讲解 14. 阅读材料. 我们 知 道,|x|= x(x>0), 0(x=0), -x(x<0). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 我们可以用这一结论来化简含绝对值的式 子,例如化简式子|x+1|+|x-2|时,可令 x+1=0和x-2=0,分别解得x=-1, x=2(称-1,2分别为|x+1|与|x-2|的 零点值).在实数范围内,零点值-1和2可 将全体实数不重复且不遗漏地分成以下三 种情况:① x<-1;② -1≤x<2;③ x≥ 2.从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分为 三种情况:① 当x<-1时,原式=-(x+ 1)-(x-2)=-2x+1;② 当-1≤x<2 时,原式=(x+1)-(x-2)=3;③ 当x≥ 2时,原式=(x+1)+(x-2)=2x-1.综 上所述,原式= -2x+1(x<-1), 3(-1≤x<2), 2x-1(x≥2). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 结合上述材料,类比解决问题: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 (1)