专题五 活学活用乘法公式-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（浙教版）

42 专题五　活学活用乘法公式 乘法公式主要是指最基本、最常见的两数和(或差)的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 和平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.它们是多项式乘多项式的特殊情况.乘法公式中的字母 的含义是广泛的,它可以是数,也可以是代数式(如单项式、多项式).乘法公式及其变形应用广 泛,是整式乘法和因式分解的重点.灵活运用乘法公式离不开数形结合、转化、整体等数学思想. 类型一 完全平方公式的变形应用 1. 已知a-b=6,a2+b2=20,求下面各代数式 的值: (1) ab; (2) -a3b-2a2b2-ab3. 2. 已知x=a-2024,y=2020-a,xy=2.求: (1) x2+y2的值; (2) (x-y)2的值. 3. 根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2,我们可以得出下 面的结论:① ab=12 [(a+b)2-(a2+b2)]; ② (a-b)2=(a+b)2-4ab.已知m 满足 (3m-2022)2+(2023-3m)2=5.求: (1) (3m-2022)(2023-3m)的值; (2) (6m-4045)2的值. 类型二 逆向运用完全平方公式 4. 若x2+2(m-1)x+4是一个完全平方式, 则m 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2或-2 D. -1或3 5. 若x2+2xy+y2-a(x+y)+25 为完全平方式,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 43 6. 阅读材料并回答问题. 例题:已知m2+2mn+2n2-6n+9=0,求 m 和n的值. 解:∵ m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴ m2+2mn+n2+n2-6n+9=0. ∴ (m+n)2+(n-3)2=0. ∴ m+n=0,n-3=0. ∴ m=-3,n=3. (1) 已知x2+y2+2z2-2xz+2yz=0,求 2x+y-z的值. (2) 试探究关于x,y 的代数式5x2+9y2- 12xy-6x+2032是否存在最小值.若存在, 请求出最小值及此时x,y 的值;若不存在, 请说明理由. 类型三 利用乘法公式计算 7. 计算(2+1)×(22+1)×(24+1)×…× (232+1)的结果为 ( ) A. 3×264 B. 264 C. 264+1 D. 264-1 8. 计算: (1) 103×97×10009; (2) 20232+4 20252+20212 ; (3) 1-122 × 1-132 × 1-142 ×…× 1-1192 ; (4) 12 12-20+200+ 22 22-40+200+ … + 192 192-380+200. 类型四 乘法公式的几何背景 9. 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形,图②是由图①中的涂色部 分剪拼成的一个长方形.设图①中涂色部分 的面积为S1,图②中涂色部分的面积为S2, 则S1= ,S2= .写出利用 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 图形的面积关系所得到的公式: (用含a,b的代数式表示). 第9题 10. 如图①所示为一个长为4b、宽为a的长方 形,沿图中虚线用剪刀将其剪成四个相同 的小长方形,然后用这四个小长方形拼成 如图②所示的正方形. (1) 观察图②,写出(a+b)2,(a-b)2,ab 三者之间的等量关系式. (2) 用(1)中的结论解答下面的问题: ① 若m+2m=3 ,求m-2m 的值. ② 如图③,正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为x,y.若xy=15,BE=2,求 图③中涂色部分的面积. 第1