专题四 不定方程的整数解及其实际应用-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（浙教版）

39 专题四　不定方程的整数解及其实际应用 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是往往有无数个(组) 解,不能唯一确定.对于不定方程(组),初中阶段往往只求其特殊解(整数解、自然数解等),甚至 是只求正整数解,加上条件限制后,解就可以确定,从而可以求出其特殊解,并利用这些特殊解解 决与生活相关的实际问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)问 题常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 类型一 不定方程的特殊解(整数解、自然 数解) 1. 方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解的组 数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 2. 方程4x+5y=98的正整数解的组 数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 求出二元一次方程5x+y=20的所有自然 数解. 4. 求不定方程xy+2x+3y=0的所有整 数解. 答案讲解 5. 已知x,y,z均为非负实数,且满足 x=5-y+z=1+y+3z,求z 的 整数解. 类型二 不定方程在实际问题中的应用 6. 把一根7m长的钢管截成2m长和1m长两 种规格的钢管(两种都有).如果没有剩余, 那么截法有 ( ) A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 7. “今有五十鹿进舍,小舍容四鹿,大舍容六 鹿,需舍几何?”(改编自《缉古算经》)大意如 下:今有50只鹿进圈舍,小圈舍可以容纳 4只鹿,大圈舍可以容纳6只鹿,求所需圈舍 的间数.若恰好每间圈舍都能住满鹿,则求 得的结果有 ( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 8. 为奖励先进,某班级计划用260元购买A, B,C 三种奖品,每个A 种奖品10元,每个 B 种奖品20元,每个C 种奖品30元.在 C 种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完 的情况下(每种方案中三种奖品都购买),购 买方案共有 ( ) A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种 答案讲解 9. ★某校计划组织师生共500人赴纪 念园开展教育活动,现有甲、乙两种 型号的客车可租用.已知2辆甲型 客车和1辆乙型客车可以满载乘客130人, 1辆甲型客车和2辆乙型客车可以满载乘客 140人. (1) 甲、乙两种型号的客车每辆可分别满载 乘客多少人? (2) 若计划租用甲型客车a 辆,乙型客车 b辆,恰好能一次运送所有师生且每辆客车 都满载,则共有哪几种租车方案(a,b均为非 负整数)? 10. 某校七、八、九年级某月课外兴趣小组活动 总时间统计如下表: 年 级 课外兴趣小组活动总时间(h) 七年级 12.5 八年级 12 九年级 8.5 其中,各年级文艺小组每次活动时间为2h, 各年级科技小组每次活动时间为1.5h(每 个年级两种兴趣小组都有,且仅有这两种 兴趣小组). (1) 若七年级科技小组的活动次数比文艺 小组的活动次数少1,请你用一元一次方程 的知识分别求七年级科技小组与文艺小组 的活动次数; (2) 八年级科技小组的活动次数为 ; (3) 分别求九年级科技小组与文艺小组的 活动次数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 41 11. 已知某厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的 电子产品,某商场计划用56000元从该厂 家购进60台电子产品.设商场购进甲、乙 型号的电子产品的数量分别为x 台,y 台, 三种型号的电子产品的进价、销售利润如 下表: 型 号 甲 乙 丙 进价(元/台) 1000 800 500 销售利润(元/台) 260 190 120 (1) 商场购进丙型号的电子产品 台 (用含x,y的代数式表示). (2)