专题六 因式分解的技巧及其应用-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（浙教版）

45 专题六　因式分解的技巧及其应用 因式分解在代数式恒等变形、解方程以及代数式的运算等方面经常用到,因而尤为重要.初 中阶段因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、添项分解法、拆项分 解法等. 类型一 用十字相乘法分解因式 1. ★阅读材料. 整式乘法与因式分解是方向相反的变形,由 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,可得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用 这个式子可以将某些二次项系数为1的二 次三项式分解因式. 例如:将式子x2+3x+2分解因式. ∵ 这个式子的常数项2=1×2,一次项系数 3=1+2,∴ x2+3x+2=x2+(1+2)x+ 1×2. 解:x2+3x+2=(x+1)(x+2). 上述过程,也可以用十字相乘的形式形象地 表示:先分解二次项系数,分别写在十字交 叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分 别写在十字交叉线的右上角和右下角,最后 交叉相乘,求出代数和,使其等于一次项系 数(如图). 第1题 请仿照上面的方法,解答以下各题: (1) 分解因式: ① x2+6x+8; ② x2-x-6; ③ x2-5xy+6y2; ④ x3-2x2-3x. (2) 若x2+px+8在有理数范围内可分解 为两个一次因式的积,求整数p 的所有可能 的值. 2. 阅读材料. 答案讲解 对多项式4x2-4x-15进行因式 分解还可以这样思考:如图,将二次 项4x2分解成两个2x的乘积,再将 常数项-15分解成-5与3的乘积,图中两条 对角线上的乘积的和为-4x,正好是4x2- 4x-15的一次项,则有4x2-4x-15= (2x-5)(2x+3).这种分解因式的方法叫做 “十字相乘法”. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 请用材料中的“十字相乘法”分解因式: (1) 3x2-19x-14; (2) 6a2-13ab+6b2. 类型二 用分组分解法分解因式 答案讲解 3. 观察探究性学习小组的甲、乙两名 同学因式分解的过程: 甲:x2-xy+4x-4y =(x2-xy)+(4x-4y) =x(x-y)+4(x-y) =(x-y)(x+4). 乙:a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc) =a2-(b-c)2 =(a+b-c)(a-b+c). (1) 请你在他们解法的启发下,把下列各式 分解因式: ① m3-2m2-4m+8; ② x2-2xy+y2-9; ③ x2-2ax-b2+2ab. (2) 拓展应用: ① 若a,b(a>b)都是正整数且满足ab- a-b-4=0,求a+b的值; ② 若a,b为实数且满足ab-a-b-4=0, s=a2+3ab+b2+3a-52b ,求s的最小值. 类型三 用添项、拆项法分解因式 4. 阅读材料. 二次三项式a2+2ab+b2可以用公式直接分 解为(a+b)2,但对于二次三项式a2+2ab- 8b2,就不能直接用公式了,我们可以将-8b2 拆成b2和-9b2,构造完全平方式.于是有 a2+2ab-8b2 =a2+2ab+b2-9b2 =(a+b)2-(3b)2 =[(a+b)+3b][(a+b)-3b] =(a+4b)(a-2b). 像这样将二次三项式分解因式的方法叫做 拆项分解法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 47 请你根据材料中提供的因式分解的方法,将 下面的多项式分解因式: (1) m2+6m+8; (2) a4+a2b2+b4. 5. 阅读材料. 答案讲解 把x4+4分解因式. 分析:这个二项式既无公因式可提 取,也 不 能 直 接 利 用 公 式,怎 么 办呢? 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该 式只有两项,而且属于平方和(x2)2+22 的