专题二 代数式在规律探究中的应用-【通城学典】2024年七年级数学暑期升级训练（浙教版）

33 专题二　代数式在规律探究中的应用 用代数式把一列变化着的数式或图形的规律表示出来,是探究型题目中很重要的一类问题, 此类题目通过分析与研究提供的“变化片段”———一些连续的特殊情况,归纳概括出整个变化过 程所体现的规律,并用代数式将其表示出来.在实际运用中,又可根据题目的情况,分为两种类 型:数式规律型和图形规律型.其解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特 殊线段、特殊位置等)中的数据特点,将数据进行分解重组、猜想、归纳,得出规律,并用数学语言 来表达这种规律,同时要用结论去检验特殊情况,以肯定结论的正确性. 类型一 列代数式表示数式的变化规律 1. 若一组数按规律排列:-3,8,-13,18, -23,…,则第n个数为 ( ) A. (-1)n+1(n+2) B. (-1)n+1(5n-2) C. (-1)n (n+2) D. (-1)n (5n-2) 2. 如图①所示为某年11月的月历,现用一长方 形框在月历中任意框出4个数(如图②),下 列表示a,b,c,d四个数之间关系的式子中, 不正确的是 ( ) 第2题 A. a+d=b+c B. a-d=b-c C. a+c+2=b+d D. a+b+14=c+d 3. 若a是大于1的正整数,则a的三次方可以 改写成若干个连续奇数的和.例如23=3+5, 33=7+9+11,43=13+15+17+19,….已知 在a3改写成的若干个连续奇数的和的式子 中,有一个奇数是2023,则a的值为 ( ) A. 36 B. 45 C. 52 D. 61 4. 某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个 并死去1个,2小时后分裂成6个并死去 2个,3小时后分裂成8个并死去3个,4小 时后分裂成10个并死去4个……按此规律, n小时后,细胞存活的个数为 (用含 n的代数式表示). 5. 观察下列各式:1+1×(-1)=02,1+2×0= 12,1+3×1=22,….按此规律,第n个式子 为 (n为正整数). 答案讲解 6. 观察如图所示的“田”字格中各数之 间的关系,则c的值可用含n的代 数式表示为 . 第6题 7. 探究: 第1个等式:22-21=2×21-1×21=21; 第2个等式:23-22=2×22-1×22=22; 第3个等式:24-23=2×23-1×23=23; …… (1) 请仔细观察,写出第6个等式:27-26= ; (2) 请按照规律,写出第n 个等式:2n+1- 2n= ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 (3) 计算:21+22+23+…+22021+22022- 22023= . 8. 将连续的奇数排成如图所示的数阵,用十字 框按如图所示的方式任意框住5个数(十字 框只能平移). (1) 若框住的5个数中,正中间的一个数为 17,则这5个数的和为 . (2) 十字框内5个数的和最小是 . (3) 设正中间的数为a,用含a的代数式表 示十字框内5个数的和. (4) 十字框能否框住和为2035的5个数? 若能,请求出正中间的数a;若不能,请说明 理由. 第8题 答案讲解 9. 观察一列数:1,-2,3,-4,5,-6, 7,….将这列数按如图所示的方式 排列. (1) 第12行的第6个数是 . (2) 2023是第 行的第 个数. (3) 将第i行的最后一个数记为ai,如第 1行的最后一个数记为a1,即a1=1,第2行 的最后一个数记为a2,即a2=3,如此下去, a3=-6,a4=-10,….若第n 行的最后一 个数记为an,则用含n的代数式表示|an|为 . (4) 在(3)的条件下,计算:1a1+ 1 a2- 1 a3- 1 a4+ 1 a5+ 1 a6- 1 a7- 1 a8+ 1 a9+ 1 a10. 第9题 类型二 列代数式表示图形的变化规律 10. 如图,用小木棒分别搭一排由三角形组成 的图形和一排由正方形组成的图形,三角 形、正方形的每条边用一根小木棒.如果搭 这两个图形一共用了 2023 根小木棒,且正 方形的个数比三角形的个数多2,那么搭成 的三角形的个数是 ( )