专题一 与等腰三角形相关的旋转问题-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

33 专题一　与等腰三角形相关的旋转问题 与等腰三角形相关的旋转问题题型丰富,常见的有:求角的度数、求线段的长、求图形的面 积、证明三角形全等、探究线段之间的关系等,解答时要充分运用“旋转前后的图形全等”这一性 质.另外,旋转前后的图形中任意两对对应点及旋转中心(不共线时)可构成新的全等三角形,在 等边三角形的旋转或等腰直角三角形的旋转中较为多见. 类型一 求角度 1. 如图,在△ABC 中,AC=BC,∠C=40°.将 △ABC 绕着点B 按逆时针方向旋转得到 △DBE,其中 AC∥BD,BF、BG 分别为 △ABC 与△DBE 的中线,则∠FBG 的度 数为 ( ) 第1题 A. 90° B. 80° C. 75° D. 70° 2. (绍兴中考)如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC 绕点B 按顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°),得到 BP,连接CP,过点A 作AH⊥CP,交CP 的延长线于点H,连接AP,则∠PAH 的 度数 ( ) 第2题 A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大先增大后减小 类型二 求线段长 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=4,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△DBE,若E 恰好为AC 的中点,则BC 的长为 ( ) 第3题 A. 22 B. 3 C. 4 D. 42 4. 如图,△CAB 与△CDE 均是等腰直角三角 形,且∠ACB=∠DCE=90°.连接 BE、 AD,AD 的延长线与BC、BE 的交点分别是 G、F,且AF⊥BE.将△CDE 绕点C 旋转直 至CD∥BE 时,若DA=92 ,DG=2,则BF 的长是 . 第4题 类型三 探究线段之间的数量关系 5. 如图①,在△ABC 中,AB=CB,将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转至△A1BC1 的位 置,A1B 交AC 于点E,A1C1 分别交AC、 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 BC 于点D、F. (1) 观察并猜想线段EA1 与FC 有怎样的 数量关系,并证明你的结论; (2) 如图②,若将△ABC 绕点B 按顺时针方 向旋转至△A1BC1 的位置,DC1=BC1,求 证:AC∥BC1. 第5题 答案讲解 6. 如图,△ABC 为等边三角形,将线 段AC 绕点A 按逆时针方向旋转 90°,得到AD,连接BD,∠BAC 的 平分线交BD 于点E,连接CE. (1) 求∠AED 的度数; (2) 试探究线段AE、CE、BD 之间的数量关 系,并证明. 第6题 类型四 求面积 第7题 7. 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC=120°,O 为BC 的中点,将△ABC 绕点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 △DEF,点D、E 分别在边 AC 和CA 的延长线上,连接CF.若AD= 3,则△OFC 的面积是 ( ) A. 9 43 B. 3 23 C. 3 43 D. 27 43 8. 如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE= 3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2,将 △ABC 绕 点 A 旋 转,使 点 B 在 △ADE 内部,且∠ABE=135°.连接CD、 BD,求△CBD 的面积. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 35 类型五 探究型问题 答案讲解 9. 将两个斜边长相等的等腰直角三角 形按如图①所示的方式摆放,斜边 AB 分别交CD、CE 于点M、N. (1) 如果把图①中的△BCN 绕点C 按逆时 针方向旋转90°得到△ACF,连接FM,如图 ②,求证:△CMF≌△CMN. (2) 将图②中的△CED 绕点C 旋转. ① 当点M、N