专题七 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系综合-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

53 专题七　一元二次方程根的判别式与根与系数的关系综合 一元二次方程的根与系数的关系是中考的重点和热点之一,主要考查运用根与系数的关系 求解一元二次方程中的字母或求代数式的值(或取值范围),解答时往往要对代数式进行变形,用 含x1+x2和x1x2的式子表示.需要注意的是,运用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程 有两个实数根,即必须满足判别式b2-4ac≥0. 类型一 求代数式的值 1. 关于x 的一元二次方程(k-1)x2-4x+ 1=0有两个实数根x1、x2,当k为满足条件 的最小正整数时,求(x1-x2)2的值. 2. 已知关于x 的一元二次方程kx2+(1- 2k)x+k-2=0. (1) 若方程有两个不相等的实数根,求k的 取值范围; (2) 当k为满足(1)中条件的最小整数时,设 方程的两根为α和β,求代数式α3+β2+β+ 2017的值. 类型二 求代式数的最小值 3. 已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x- m2的两个实数根为x1、x2.设y=x1+x2, 求y的最小值. 类型三 确定一元二次方程 4. 下列方程中,两个实数根的和为2的是 ( ) A. x2-2x+4=0 B. x2+2x-4=0 C. x2+2x+4=0 D. x2-2x-4=0 5. 下列一元二次方程中,两实数根的积为4 的是 ( ) A. 2x2-5x+4=0 B. 3x2-5x+4=0 C. x2+x+4=0 D. x2-5x+4=0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 54 类型四 求字母系数的值 6. 若关于x的方程x2+(2-k)x+k2=0的两 根互为倒数,则k的值为 ( ) A. 3 B. 1 C. -1 D. ±1 7. (荆门中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-6x+2m-1=0的两个实数根为 x1、x2. (1) 若x1=1,求x2及m 的值. (2) 是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)= 6 m-5 ? 若存在,请求出实数m 的值;若不存 在,请说明理由. 8. 关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0 的两个不相等的实数根x1、x2 满足x21+ 2x2=m2,求m 的值. 9. 已知关于x的方程x2-3x+k=0的两个实 数根x1、x2满足(x21-2x1)(x22-2x2)=8, 求k的值. 答案讲解 10. 关于x 的方程x2+(2k+1)x+ k2+2=0的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=x1x2-1,求k的值. 类型五 与不等式的综合 11. 已知关于x的一元二次方程x2+4x+k+ 4=0的实数根x1、x2 满足x1x2+2x1+ 2x2>-7,求k的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 55 12. 已知x1、x2 是一元二次方程2x2-2x+ m+1=0的两个实数根,且x1、x2满足4+ 4x1x2>x21+x22,求m 的取值范围. 类型六 与几何图形的综合 13. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2k+ 1)x+4k-3=0. (1) 求证:无论k取何实数,该方程总有两 个不相等的实数根; (2) 当Rt△ABC 的斜边长a= 31,且两 条直角边的长b和c恰好是这个方程的两 个根时,求k的值. 14. 已知△ABC 的两边AB、AC 的长是关于x 的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的 两个实数根,第三边BC 的长为5,则当k 取何值时,△ABC 是以BC 为斜边的直角 三角形? 15. 关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0 的两个实数根x1、x2 是一个矩形的长 和宽. (1) 是否存在实数k,使得矩形的面积为 10? 若存在,请求出k 的值;若不存在,请 说