21.4 二次函数的应用2-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

73 21.4　二次函数的应用2 建立平面直角坐标系解决有关建筑、隧道等抛物线形问题一般有以下类型:(1) 抛物线的顶点 是坐标原点,可设对应的函数表达式为 ;(2) 抛物线的顶点在y轴上,可设对应的函数 表达式为 ;(3) 抛物线的顶点在x 轴上,可设对应的函数表达式为 ; (4) 抛物线的顶点坐标为(-h,k),可设对应的函数表达式为 ;(5) 抛物线与x 轴的 两个交点的横坐标分别为x1,x2,可设对应的函数表达式为 ;(6) 抛物线经过平面直 角坐标系中的三点,可设对应的函数表达式为 . 典例1 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷 水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱 呈抛物线形,在距水池中心3米处达到最高,高 度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池 中心的装饰物处汇合.如图,以水平方向为 x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1) 求水柱所在抛物线(第一象限部分)对应的 函数表达式; (2) 王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水头 意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅 站立时必须在离水池中心多少米以内? 典例1图 点拨:(1) 根据抛物线的顶点坐标设出二次函 数的顶点式,再将(8,0)代入,即可求出二次函 数的表达式;(2) 将y=1.8代入二次函数的表 达式,解关于x的方程,可求出王师傅应该站立 的位置. 解答: 解有所悟:解答此类题的关键在于根据题意表示出 顶点的坐标,在已知顶点的情况下利用顶点式求出 二次函数的表达式,再根据实际问题,若求水平距 离,将y的值代入函数表达式即可求解;若求高度, 将x 的值代入函数表达式即可求解. 典例2 如图,隧道的横截面由抛物线和矩形 OABC 构成,矩形一边OA 的长为12m,另一边 OC 的长为1m,抛物线上的最高点D 到地面 OA 的距离为7m,以OA 所在直线为x 轴,OC 所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. (1) 求该抛物线对应的函数表达式. (2) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,且它 们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度为 5m,求两排灯之间的水平距离. (3) 隧道内车辆双向通行,规定车辆必须在中 心线两侧行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少 于1 3m 的空隙.现有一辆货车,在隧道内距离道 路边缘2m处行驶,求这辆货车载物后的最大 高度. 典例2图 点拨:(1) 易得抛物线的顶点D 和点C 的坐标, 因此先设二次函数的顶点式,再把点C 的坐标 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 代入求解即可;(2) 将灯离地面的高度转化为 点的纵坐标,代入函数表达式,求出对应的横坐 标之差即为问题的答案;(3) 把货车与道路边 缘的距离视为点的横坐标,求得对应的纵坐标, 进而求解即可. 解答: 解有所悟:本题运用建模思想解题.通过建立平面直 角坐标系,将实际问题转化为二次函数问题,用待定 系数法求出抛物线对应的函数表达式.注意:根据实 际问题建立平面直角坐标系时,方法不止一种,应根 据题意选择简便的方法,使解题过程简单. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (陕西中考)某景点的“喷水巨龙”口中点C 处的水流呈抛物线形,该水流喷出的高度y (单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关 系如图所示,D 为该水流的最高点,DA⊥ OB,垂足为A.已知OC=OB=8m,OA= 2m,则该水流距水平面的最大高度AD 为 ( ) A. 9m B. 10m C. 11m D. 12m 第1题 第2题 2. 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴 了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴 绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然 下垂呈抛物线状,当身高1米的小明距较近 的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子, 则绳子的最低点离地面的距离为 ( ) A. 0.5米B. 0.6米 C. 1米 D. 1.5米 3. 如图①,株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合 体系,小明在五桥观光,发现拱梁的路面部 分均匀排列着9根支柱,他回家上网查到了 拱梁是抛物线形状,其跨度为20米,拱(中 柱)高10米,于是他建立如图②所示