21.3 二次函数与一元二次方程-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

68 21.3　二次函数与一元二次方程 1. 在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当y=0时,得到一元二次方程 ,则一元 二次方程的根就是二次函数的图象与 轴交点的 坐标. 2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况决定一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况: (1) 当抛物线与x轴有两个交点时,b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (2) 当抛物线与x轴有且只有一个交点时,b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (3) 当抛物线与x轴无交点时,b2-4ac 0,则方程 实数根. 3. 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的 ,这个结果一般是 ,也可以通 过解一元二次方程求二次函数图象与x轴交点的 坐标. 典例1 已知函数y=ax2-(3a+1)x+2(a+ 1)的图象与x 轴只有一个交点,则a 的值为 . 点拨:本题考查了抛物线与x轴的交点的问题, 解题时,围绕着a 的取值,分类讨论,即可求出 a的值. 解答: 解有所悟:解此题时,不能看到“已知图象与x 轴只 有一个交点”就盲目认为函数所对应的一元二次方 程根的判别式Δ=0,因为这个函数不一定是二次函 数,要注意二次项系数是否为常数,若不是常数,则 该函数也有可能是一次函数,所以要分类讨论. 典例2 已知y=x2-kx+3k-9是关于x的二 次函数. (1) 求证:无论k为何值,该二次函数的图象与 x轴都有交点; (2) 若该函数图象的顶点在x 轴上,试确定k 的值. 点拨:(1) 计算出Δ的值并说明其为非负数即 可证明;(2) 利用顶点公式,列出关于k的方程 即可求得k的值. 解答: 解有所悟:(1) 判断二次函数的图象与x 轴的交点 情况,关键是计算b2-4ac 的值,然后与0进行比 较;(2) 解答这类问题要牢记二次函数图象的顶点 坐标的公式表示,即 -b2a ,4ac-b 2 4a . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 69 [基础过关] 1. 抛物线y=x2-3x+4与x 轴交点的个 数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图 所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0的根为 ( ) 第2题 A. x1=1,x2=-3 B. x1=0,x2=-3 C. x1=0,x2=1 D. x1=x2=-1 3. (潍坊中考)若抛物线y=x2+x+c与x 轴 只有一个公共点,则c的值为 ( ) A. -14 B. 1 4 C. -4 D. 4 第4题 4. 如图,抛物线y=ax2 与直线 y=bx+c的两个交点分别为 A(-3,9),B(1,1),则方程 ax2-bx-c=0的解为 . 答案讲解 5. 已知抛物线对应的函数表达式为 y=x2-(k+2)x+2k-2. (1) 求证:该抛物线与x 轴必有两 个不同的交点; (2) 若该抛物线与直线y=x+k2-1的 一个交点在y 轴上,求该抛物线的顶点 坐标. [综合提升] 答案讲解 6. (河南中考)如图,抛物线y=x2+ mx 与直线y=-x+b 相交于点 A(2,0)和点B. (1) 求m 和b的值. (2) 求点B 的坐标,并结合图象写出不等式 x2+mx>-x+b的解集. (3) 设M 是直线AB 上的一个动点,将点M 向左平移3个单位得到点N.若线段MN 与 抛物线只有一个公共点,求点 M 的横坐标 xM 的取值范围. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 30 作BE⊥x 轴于点E,连接AB,AC,则BE=4,OC=1. ∵ 抛物线y=x2+2x+1的顶点A 的坐标为(-1,0),直 线y=-x+1与x轴的交