21.2 二次函数的图象和性质1-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

56 21.2　二次函数的图象和性质1 1. 一般地,二次函数y=ax2(a≠0)的图象是 ,对称轴是 ,顶点坐标为 .当a>0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点;当a<0时,抛 物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,|a|越大,抛物线的开口越 . 2. 二次函数y=ax2(a≠0)的性质: (1) 当a>0时,在y轴左侧,抛物线是下降的,即当x<0时,y随x的增大而 ;在y轴 右侧,抛物线是上升的,即当x>0时,y随x的增大而 ;当x=0时,函数y有 值,这个值为 . (2) 当a<0时,在y轴左侧,抛物线是上升的,即当x<0时,y随x的增大而 ;在y轴 右侧,抛物线是下降的,即当x>0时,y随x的增大而 ;当x=0时,函数y有 值,这个值为 . 3. 二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,其对称轴是 ,顶点坐标为 ;抛物 线y=ax2+k与抛物线y=ax2的 、开口大小和 相同,只是 不同. 把抛物线y=ax2沿y轴方向平移 个单位可以得到抛物线y=ax2+k,当k>0时,向 平移;当k<0时,向 平移. (1) 当a>0时,在对称轴右侧,即当 时,y随x的增大而 ;在对称轴左侧,即当 时,y随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . (2) 当a<0时,在 ,即当x>0时,y 随x 的增大而 ;在 ,即当 x<0时,y随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . 典例1 抛物线y=2x2-3经过三点A(-4, y1),B(-2,y2),C 1 2 ,y3 ,则y1,y2,y3 的大 小关系是 ( ) A. y2>y3>y1 B. y1>y2>y3 C. y2>y1>y3 D. y1>y3>y2 点拨:利用函数的开口方向、对称轴、增减性,再 比较点离对称轴的远近即可解答. 解答: 解有所悟:在同一抛物线上,函数值的大小比较主要 有以下四种方法:方法一,利用二次函数的增减性, 若比较大小的函数值对应的点在抛物线的对称轴的 同侧,则直接利用二次函数的增减性进行比较;若比 较大小的函数值对应的点在抛物线对称轴的两侧, 则先对其中某些点关于抛物线的对称轴进行轴对称 变换,将其转化为在对称轴同侧的点,最后利用增减 性进行比较.方法二,代入x 的值,直接比较y 的大 小.方法三,数形结合,先大致画出抛物线,然后结合 图象,找到需比较的函数值在y 轴上的位置,根据 “数轴上右边的数比左边的数大”进行比较.方法四, 利用“开口向上,抛物线上的点距离对称轴越远,点 的纵坐标越大,函数值也越大;开口向下,抛物线上 的点距离对称轴越近,点的纵坐标越大,函数值也越 大”进行比较. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 57 典例2 如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得 水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O 到水面的距离 为2.4m,建立如图所示的平面直角坐标系,求 涵洞所在抛物线对应的函数表达式. 典例2图 点拨:由题意,可得点A,B 的坐标,将其中一点 代入设的函数表达式即可求解. 解答: 解有所悟:求形如y=ax2 的二次函数的表达式时, 只要知道图象上除原点外任一点的坐标,用待定系 数法即可求出函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (龙东地区中考)若二次函数y=ax2的图象 经过点P(-2,4),则该图象必经过点 ( ) A. (2,4) B. (-2,-4) C. (-4,2) D. (4,-2) 2. (常州中考)已知二次函数y=(a-1)x2,当 x>0时,y随x 增大而增大,则实数a的取 值范围是 ( ) A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1 3. 已知点A(-3,m),B(0,n),C(1,p)均在二 次函数y=-2x2的图象上,则m,n,p 的大 小关系是 ( ) A. m<n<p B. p<n<m C. p<m<n D. m<p<n 4. 有下列关于抛物线y=x2和y=-x2 的共 同性质的说法:① 都是开口向上;② 都以 (0,0)为顶点;③ 都以y 轴为对称轴;④