专题四 判别式和根与系数的关系的综合应用-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

34 专题四　判别式和根与系数的关系的综合应用 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是中考必考题型,既有单一题又有综合题.方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有无实数根,取决于根的判别式Δ(b2-4ac),当Δ>0时,方程有两个不相 等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.当方程有实数 根时,其两个根x1,x2与系数的关系为x1+x2=- b a ,x1x2= c a. 它们从不同方面反映了一元二 次方程根的性质.利用它们可以解决以下问题:(1) 判断方程根的情况;(2) 已知字母系数方程, 求字母系数的值;(3) 求含有根的代数式的值等.利用判别式解题时应注意a≠0;利用根与系数 的关系解题时应注意a≠0且b2-4ac≥0. 类型一 利用判别式判断一元二次方程根的 情况 1. (滨州中考)一元二次方程2x2-5x+6=0 的根的情况为 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 2. 若直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的 方程ax2+2x+1=0的实数根有 个. 3. 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+ 2k-3=0.求证:无论k为何值,方程总有两 个不相等的实数根. 答案讲解 4. 若关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0没有实数根,试判断关于 x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+ m=0的根的情况. 类型二 利用判别式求一元二次方程中字母 系数的值或取值范围 5. (西宁中考)若关于x的一元二次方程2x2+ x-k=0没有实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k<-18 B. k≤-18 C. k>-18 D. k≥-18 6. (安徽中考)若一元二次方程2x2-4x+m= 0有两个相等的实数根,则m= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 35 7. 已知关于x 的方程mx2-(3m-1)x+ 2m-1=0. (1) 求证:无论m 为何值,方程总有实数根; (2) 若这个方程为一元二次方程,且根的判 别式的值等于1,求m 的值. 类型三 利用根与系数的关系求含一元二次 方程根的代数式的值 8. ★若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的 两个实数根,则x32-4x21+17的值为( ) A. -2 B. 6 C. -4 D. 4 9. (绥化中考)若x1,x2为一元二次方程 1 2x 2+ 3x+2=0的两个根,则(x1-x2)2 的值为 . 答案讲解 10. 已知关于x的一元二次方程x2+ 2x-m2-m=0(m>0).当m= 1,2,3,…,2020时,相应的一元二 次方程的两个根分别记为α1,β1;α2,β2;…; α2020,β2020.求 1 α1+ 1 β1 +1α2+ 1 β2 +…+ 1α2020+ 1 β2020 的值. 类型四 利用根与系数的关系求一元二次方 程未知字母的值 11. (天门中考)若关于x的一元二次方程x2- 2mx+m2-4m-1=0有两个实数根x1, x2,且(x1+2)(x2+2)-2x1x2=17,则 m 的值为 ( ) A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 12. (内江中考)已知x1,x2 是关于x 的方程 x2-2x+k-1=0的两个实数根,且 x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1,则k的值为 . 13. 若关于x 的一元二次方程x2+2(k+ 3)x+k2+3=0有两个实数根α,β,且(α- 1)2+(β-1)2=18,求k的值. 类型五 判别式和根与系数的关系的综合应用 14. 若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+ a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的 值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 0或2 15. (南充中考)已知关于x 的一元二次方程 x2+3x+k-2=0有实数根. (1) 求k的取值范围. (2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2.若 (x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈