专题三 等腰三角形性质和判定的综合应用-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

31 专题三　等腰三角形性质和判定的综合应用 等腰三角形是有两边相等的特殊三角形,利用等腰三角形(包括等边三角形)的性质与判定, 可以实现边与角的转化,是证明角相等、线段相等的重要依据.等腰三角形往往与平行线、三角形 的内角和、三角形外角的性质、全等三角形、线段垂直平分线等知识相结合,从所涉及的知识点 看,题型有性质或判定的单独应用、性质和判定的综合应用;从所求的问题看,题型有证明角相等 (或求角度)、证明线段相等(或求线段的长)、证明线段(或角)的和差倍分问题等. 类型一 等腰三角形性质的应用 1. (鞍山中考)如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=24°,延长BC 到点D,使CD= AC,连接AD,则∠D 的度数为 ( ) 第1题 A. 39° B. 40° C. 49° D. 51° 2. (苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另 一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三 角形”.若等腰三角形 ABC 是“倍长三角 形”,底边BC=3,则腰AB= . 3. 如图,在△ABC 中,CD 是边AB 上的高, BE 是边AC 上的中线,且BD=CE.求证: ∠BEC=3∠ABE. 第3题 类型二 等腰三角形判定的应用 4. 如图所示的四个三角形均满足AB=AC,则 经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这 个三角形分成两个小等腰三角形的是 ( ) 第4题 A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④ 5. 如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C= 90°,在射线 BA 上找一点D,使 的度数 △ACD 为等腰三角形,则∠ADC 答案讲解 为 . 第5题 6. ★如图,AD 为△ABC 的角平分线,M 为BC 的中点,过点M 作ME∥AD 交BA 的延长 线于点E,交AC 于点F.求证:BE=CF= 1 2 (AB+AC). 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 类型三 等腰三角形性质和判定的综合应用 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD 平分∠ABC 交AC 于点D,E 是边AB 上一点,且满足DE=AE,过点D 作DF∥ CB,交AB 于点F,则图中等腰三角形的个 数为 ( ) 第7题 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点,在 AC 的延长线上取CE=BD,连接DE 交BC 于点F,DF=EF.求证:△ABC 为等腰三 角形. 第8题 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°, BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D,E 是AB 的中点,连接ED 并延长,交BC 的延 长线于点F,连接AF.求证: (1) EF⊥AB; (2) △ACF 为等腰三角形. 第9题 类型四 等边三角形性质与判定的综合应用 答案讲解 10. 如图,△ABC 是等边三角形,过边 AB 上的点D 作AB 的垂线,交 BC 于点E,过点E 作EF⊥DE, 交AC 于点F,过点F 作FG⊥AC,交BC 于点G,FG,DE 相交于点M.若 DM= ME,GE=3,则AB 的长为 ( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 第10题 第11题 11. 如图,在等边三角形ABC 中,AC=9,点O 在边AC 上,且OA=3,P 是边AB 上一动 点,连接OP,以点O 为圆心,OP 长为半径 画弧交BC 于点D,连接PD.若OP=PD, 则AP 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 33 12. ★如图,△ABC 为等边三角形,D 为边BC 上一点,以AD 为边作等边三角形ADE,连 接BE. (1) 求证:BE=CD. (2) 分别取BE,CD 的中点M,