专题八 新定义问题-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

46 专题八　新定义问题 所谓新定义问题,就是在题目中定义了我们之前没有学过,而又可以转化为用已学知识来解 决的问题,主要包括:新定义运算、新定义方程、新定义函数、新定义图形等.新定义问题属于创新 题型,是近年来各类考试的热点和亮点,这类题型的特点是先给出新定义,再说明新定义的内涵, 进而提出问题,主要考查我们对新定义的理解能力及运用已学知识解决新问题的能力.解答此类 问题的关键是准确理解新定义,将其转化为我们熟知的数学问题来解决,还应注意新定义与已学 知识的区别. 类型一 新定义运算 1. 若规定a∞b=a-ba+b ,则3∞2的值为( ) A. 5-26 B. 3-26 C. - 63 D. 6 3 2. (巴中中考)对于实数a,b,定义新运算: a※b=ab2-b.若关于x 的方程1※x=k 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k>-14 B. k<-14 C. k>-14 且k≠0 D. k≥-14 且k≠0 3. 在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为 a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+1)* 3=0的解为 . 4. 阅读材料. 在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离 公式 为d= Ax0+By0+C A2+B2 .例 如:求 点 P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离.由直 线4x+3y-3=0知,A=4,B=3,C=-3, ∴ 点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离 为d= 4×1+3×3-3 42+32 =2. 根据材料,解决问题: (1) 求点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的 距离; (2) 若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距 离为2,求实数C 的值. 类型二 新定义方程 5. 若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2倍,则称这样的方程为倍根方程.有下列说 法:① 方程x2-3x+2=0是倍根方程; ② 若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则 4m2+5mn+n2=0;③ 若pq=2,则关于x 的方程px2+3x+q=0是倍根方程;④ 若 方程ax2+bx+c=0是倍根方程,且5a+ b=0,则方程ax2+bx+c=0的一个根为 x=53. 其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 47 6. 阅读材料. 定义:若关于x 的方程a1x2+b1x+ c1=0(a1≠0,a1,b1,c1 是常数)与a2x2+ b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2 是常数),其中 方程中的二次项系数、一次项系数、常数项 分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则 这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程 2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考: 由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1= -3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+ c2=0,求出a2,b2,c2 的值就能确定这个方 程的“对称方程”. 根据材料,解决问题: (1) 方程x2-4x+3=0的“对称方程”是 ; (2) 若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0 与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+ n)2的值. 7. 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个 相同的实数根,那么我们称这两个方程为 “友好方程”.已知关于x的方程x2-2x=0 与x2+3x+m-1=0为“友好方程”,求实 数 m 的值. 类型三 新定义函数 8. (上海中考)若定义:f(x)=3x,则f(1)= . 答案讲解 9. 对 于 实 数a,b,我 们 定 义 符 号 max{a,b}的意义为:当a≥b时, max{a,b}=a;当 a<b 时, max{a,b}=b,如max{4,-2}=4,max{3, 3}=3.若关于x 的函数为y=max{x+3, -x+1},则该函数的最小值为 . 答案讲解 10. (泰州中考)定义:对于一次函数 y1=ax+b,y2=cx+d,我们称函 数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+ nc≠0)为函数y1,y2的“组合函数”. (1) 若m=3,n=1,试判断函数y=5x+2