专题10 立体几何综合-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题10 立体几何综合 目录一览 2023真题展现 考向一 求二面角 考向二 求距离 真题考查解读 近年真题对比 考向一 求三棱锥体积 考向二 求二面角 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 求二面角 1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点． （1）证明BC⊥DA； （2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值． 证明：（1）连接AE，DE， ∵DB＝DC，E为BC中点． ∴DE⊥BC， 又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°， ∴△ACD与△ABD 均为等边三角形， ∴AC＝AB， ∴AE⊥BC，AE∩DE＝E， ∴BC⊥平面ADE， ∵AD⊂平面ADE， ∴BC⊥DA． （2）解：设DA＝DB＝DC＝2， ∴， ∵，AD＝2， ∴AE2+DE2＝4＝AD2， ∴AE⊥DE， 又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E， ∴AE⊥平面BCD， 以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，E（0，0，0）， ∵， ∴， ∴，，， 设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为，， 则，令x1＝1，解得y1＝z1＝1， ，令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1， 故（1，1，1），（0，1，1）， 设二面角D﹣AB﹣F的平面角为θ， 则|cosθ|， 故sinθ， 所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为． 考向二 求距离 2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． （1）证明：B2C2∥A2D2； （2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P． 解：（1）证明：根据题意建系如图，则有： B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2）， ∴，， ∴，又B2，C2，A2，D2四点不共线， ∴B2C2∥A2D2； （2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t∈[0，4]， 又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2）， ∴，，， 设平面PA2C2的法向量为， 则，取， 设平面A2C2D2的法向量为， 则，取， ∴根据题意可得|cos150°|＝|cos，|， ∴， ∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]， ∴解得t＝1或t＝3， ∴P为B1B2的中点或B2B的中点， ∴B2P＝1． 【命题意图】 考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等． 【考查要点】 命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想． 【得分要点】 1．直线与平面平行 （1）直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． （2）直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 2．直线与平面垂直 （1）直线与平面垂直的定义： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． （2）直线与平面垂直的判定： 定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． 判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． （3）直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 3．二面角的平面角求法： （1）定义法． （2）三垂线定理及其逆定理． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． （4）平移或延长（展）线（面）法． （5）射影公式． （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角． （7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 ①当0，，θ，，cosθ＝cos，． ②当，π时，cosθ＝﹣cos， 考向一 求三棱锥体积 3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面B