5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2 必修第一册 同角三角函数的基本关系 01 同角三角函数的关系 在Rt△OMP中,由勾股定理有 MP2 + OM2= y2 + x2 =1 sin2α+cos2α=1 OP2=1 显然，当α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立. 01 根据三角函数的定义，当 时，有 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 同角三角函数的关系 ①平方关系： ②商数关系： 同角三角函数的基本关系式总结如下： 碴朽凤芥孤烩阵烧仕喀砚返蚤日朵撩痔晌灭措镰糟秋筏望火檄懊荣颓搁蒲同角三角函数的基本关系(公开课)同角三角函数的基本关系(公开课) 01 同角三角函数的关系 例2 已知 ，求 的值. 解： （1）当α为第三象限角时， （2）当α为第四象限角时， 蜕橙智惜灯忍杭沂乃磕沾叼瓦枷溢羽胶磋佯打换元揭器奏掠誉幸桓私郴概同角三角函数的基本关系(公开课)同角三角函数的基本关系(公开课) ∴α为第三、四象限角 利用式子的变形求值 简单形式：sin2α-cos2α 利用1的等价变形：sin2α+cos2α=1 已知tanα=m,求sinα,cosα的齐次式的值 【例5】 利用同号三角函数的关系式化简 证法2: 因为 且1-sinx≠0,cosx≠0,所以 螟步煎粳输皱模源邯鹿荡窍就工轴阔楷载奄预馒庞剧瘫怎侠画趾菊诛睦饵同角三角函数的基本关系(公开课)同角三角函数的基本关系(公开课) 例6 证明： 【练习】1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解]　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1，∴cos α＝±eq \f(\r(10),10). 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10) eq \r(10)； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10) eq \r(10). 【例3】已知sin α＋cos α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝________. [解]　由例(1)求出2sin αcos α＝－eq \f(120,169)， 因为α∈(－π，0)， 所以sin α＜0，cos α＞0， 所以sin α－cos α＝－eq \r(sin α－cos α2) ＝－eq \r(1－2sin αcos α)＝－eq \f(17,13). 【变式1】已知sin α＋cos α＝eq \f(7,13)，α∈(－π，0)，则tan α＝________. [解]　因为sin αcos α＝－eq \f(1,8)＜0，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcos α)＝－eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8))))＝－eq \f(\r(5),2). 【变式2】已知sin α·cos α＝－eq \f(1,8)，α∈(0，π)，则tan α＝________. 【例4】已知eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝2，计算下列各式的值． ①eq \f(3sin α－cos α,2sin α＋3cos α)； ②sin2α－2sin αcos α＋1. 【练习】化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角． 【练习】化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角． [解]　因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cos2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cos α) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cos α,sin α)))＝eq \f(sin α,cos α)·eq \f(－cos α,sin α)＝－1. $$