专题五 因式分解的方法与应用-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

39 专题五　因式分解的方法与应用 因式分解是整式乘法的逆运算,是数学运算的基础知识,是初中数学极其重要的恒等变形, 也是重要的解题方法,在数学中有着广泛的应用.这也是中考重要的考点,在中考中除了单独考 查因式分解,还会与其他知识综合考查. 类型一 因式分解的方法 (一) 提公因式法 1. 把下面各式因式分解: (1) -5a2b3+20ab2-5ab; (2) 8a(x-y)3-4b(y-x)2. (二) 公式法 2. 把下列各式因式分解: (1) (巴中中考)-a3+2a2-a; (2) 32x(x-2)2-18x(2x-1)2; (3) (x2+1)2-4x(x2+1)+4x2. (三) 分组分解法 3. 将一个多项式分组后,可提公因式或运用公 式继续分解的方法是分组分解法.例如: ① am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+ bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+ n);② x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+ 1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1). 试用上述方法分解因式: (1) mx-2ny-nx+2my; (2) 4x2-4x-y2+1. (四) 十字相乘法 4. 在分解因式x2+3x+2的过程中,可以用十 字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系 数,分别写在十字交叉线的左上角和左下 角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的 右上角和右下角;最后交叉相乘,求代数和, 使其等于一次项系数(如图).这样,我们可 以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 请用这种方法分解因式: (1) y2-2y-24; (2) 2x2-3x-2. (五) 拆、添项法 答案讲解 5. 阅读材料: 在对某些多项式分解因式时, 需要恢复那些被合并或相互抵消的 项,即把多项式中的某一项拆成两项或多 项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的 项,前者称为拆项,后者称为添项.如:x4+ 4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2- (2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2). 仿照上述方法分解因式: (1) x4+4y4; (2) a4+a2b2+b4. (六) 换元(整体)法 6. 阅读材料: 分解因式:(a+b)2-2(a+b)+1. 解:将“a+b”看成整体,设 M=a+b,则原 式=M2-2M+1=(M-1)2. 再将“M”还原,得原式=(a+b-1)2. 上述解题方法用到的是“整体思想”,“整体 思想”是数学解题中常用的一种思想方法, 请你仿照上面的方法解答下列问题: (1) 分解因式:(2a+b)2-9a2= ; (3a+2b)2-(2a+3b)2= . (2) 分解因式:(x-y)2+2(x-y)+1= ;(a+b)(a+b-4)+4= . (3) 求证:若n 为正整数,则式子(n+ 1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个 正整数的平方. 类型二 因式分解的应用 (一) 用于简便计算 7. 利用因式分解计算: (1) 552-452; (2) 9914×100 3 4 ; (3) 872+87×26+132; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 41 (4) (-3)101+(-3)100+399. (二) 用于化简求值 8. 已知a=b+2,则代数式3a2-6ab+3b2+ 2022的值为 ( ) A. 2020 B. 2024 C. 2021 D. 2034 9. 已知x-y=3,y-z=2,x+z=4,则代数 式x2-z2的值是 ( ) A. 9 B. 18 C