第一章2 矩形的性质与判定-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

57 2　矩形的性质与判定 1. 矩形的定义: 有一个角是 的 四边形叫 做矩形. 2. 矩形的性质: (1) 矩形的四个角都是 . (2) 矩形的对角线 . 3. 直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角 形斜边上的中线等于斜边的 . 4. 矩形的判定: (1) 对角线 的 是矩形. (2) 有三个角是 角的 是 矩形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB 的长是 ( ) 典例1图 A. 3cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm 点拨:根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OA=OB,由∠AOB=60°,判断出△AOB 是等 边三角形,根据等边三角形的性质求出AB 的 长即可. 解答: 解有所悟:矩形的每条对角线将矩形分成两个全等 的直角三角形,两条对角线将矩形分成四个等腰三 角形.特别地,在对角线所夹锐角为60°的矩形中,两 条对角线将矩形分成四个三角形,其中矩形的宽所 在的三角形是等边三角形;每条对角线将矩形分成 两个含有30°角的直角三角形.因此解决矩形问题常 用到直角三角形和等腰(边)三角形的性质. 典例2(宜昌中考)如图,在矩形ABCD 中,E 是边AD 上一点,F,G 分别是BE,CE 的中点, 连接AF,DG,FG.若AF=3,DG=4,FG=5, 则矩形ABCD 的面积为 . 典例2图 点拨:由矩形的性质得出∠BAE=∠CDE= 90°,AD∥BC,由直角三角形斜边上的中线的性 质及三角形中位线的性质求出BE,CE,BC 的 长,由勾股定理的逆定理得出△BCE 是直角三 角形,再计算S△BCE= 1 2BE ·CE,从而求出矩 形ABCD 的面积. 解答: 解有所悟:与中点有关的知识有直角三角形斜边中 线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形三线合一 的性质等,有时会综合几种知识于同一题中,要注意 灵活运用.必要时可添加辅助线,构造相关性质的基 本图形求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 典例3(泰州中考)如图,线段DE 与AF 分别 为△ABC 的中位线与中线. (1) 求证:AF 与DE 互相平分. (2) 当线段AF 与BC 满足怎样的数量关系时, 四边形ADFE 为矩形? 请说明理由. 典例3图 点拨:(1) 根据线段中点的定义可得 AD= 1 2AB ,根据三角形的中位线定理可得EF∥ AB,EF=12AB ,从而可得EF=AD,进而可得 四边形ADFE 是平行四边形,然后利用平行四 边形的性质即可解答;(2) 当AF=12BC 时,四 边形ADFE 为矩形,再根据三角形的中位线定 理可得DE=12BC ,从而可得AF=DE,然后 利用(1)的结论即可解答. 解答: 解有所悟:证明矩形的思路有两种.思路一:若已知 四边形是平行四边形,则只要再证明一个角是直角 或再证明两条对角线相等即可.思路二:若没有平行 四边形的条件,则考虑证明三个角是直角,直接得到 矩形或先证明四边形是平行四边形,再按思路一证 明即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的 性质是 ( ) A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. (聊城中考)要检验一个四边形的桌面是否 为矩形,可行的测量方案是 ( ) A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距 离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 3. (永州中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,∠C=60°,D 为边AC 的中点,BD=2, 则BC 的长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 2 D. 4 第3题 第4题 4. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于