第一章1 菱形的性质与判定-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

53 第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 1. 菱形的定义: 有一组邻边 的 四边形叫 做菱形. 2. 菱形的性质: (1) 菱形的四条边 . (2) 菱形的对角线互相 . 3. 菱形的判定: (1) 对角线 的 是菱形. (2) 四边 的 是菱形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(达州中考)如图,菱形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形 ABCD 的周长为 . 典例1图 点拨:由菱形的对角线互相垂直且平分,在直角 三角形中利用勾股定理求出菱形的边长,再根 据菱形的四条边相等求出周长. 解答: 解有所悟:解决此类问题的关键是熟记菱形的性质, 由对角线互相垂直平分得直角三角形,在直角三角 形中,运用勾股定理求出菱形的边长. 典例2(嘉兴中考)小惠自编一道题目:如图,在 四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O, AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD 是菱 形.她将自己的证明过程与同学小洁进行交流. 小惠:证明:∵ AC⊥BD,OB=OD,∴ AC 垂 直平分BD.∴ AB=AD,CB=CD.∴ 四边形 ABCD 是菱形. 小洁说:“这道题目还缺少条件,需要补充一个 条件才能证明.” 若赞同小惠的证法,请在方框内打“􀳫”;若赞同 小洁的说法,请你补充一个条件,并证明. 典例2图 点拨:根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱 形”进行分析推理. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 54 解有所悟:解决此类问题的关键是熟记菱形的判定 方法,结合题意选择合适的方法进行判断及证明. 典例3 如图,在▱ABCD 中,BF 平分∠ABC 交AD 于点F,AE⊥BF 于点O,交BC 于点E, 连接EF. (1) 求证:四边形ABEF 是菱形; (2) 若 AE=6,BF=8,CE=5,求四边形 ABCD 的面积. 典例3图 点拨:(1) 先证明四边形ABEF 是平行四边形, 再证明邻边相等即可得证;(2) 过点F 作FG⊥ BC 于点G,根据S菱形ABEF= 1 2AE ·BF=BE· FG,求出FG 的长即可解决问题. 解答: 解有所悟:由菱形的对角线互相垂直的性质,可得菱 形的面积等于对角线乘积的一半.进一步说,对角线 互相垂直的四边形的面积都等于对角线乘积的一 半.此外,菱形也是平行四边形,其面积也等于底乘 高,由此可利用等量关系“底×高=对角线乘积的一 半”巧解相关问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (河池中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O.下列结论中,错误的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 第1题 第2题 2. (河南中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,E 为CD 的中点.若 OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 3. (襄阳中考)如图,▱ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于点O,下列说法正确的是 ( ) A. 若OB=OD,则▱ABCD 是菱形 B. 若AC=BD,则▱ABCD 是菱形 C. 若OA=OD,则▱ABCD 是菱形 D. 若AC⊥BD,则▱ABCD 是菱形 第3题 第4题 4. 如图,O 既是AB 的中点,又是CD 的中点, 并且AB⊥CD.连接AC,BC,AD,BD,则这 四条线段的大小关系是 ( ) A. 全相等 B. 互不相等 C. 只有两条相等 D. 无法确定 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 55 5. (营口中考)如图,将△ABC 沿着BC 方向平 移得到△DEF,只需要添加一个条件即可证