2.4 第1课时线段垂直平分线的性质与判定（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》 2.4 线段、角的轴对称性 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 知识点一 线段的垂直平分线的性质与判定 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如右图） ∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点二 线段垂直平分线的画法 ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段长 【例题1】（2023春•文山市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　） ​ A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm 解题技巧提炼 运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法. 【变式1-1】（2022秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝　 　cm． 【变式1-2】（2022秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【变式1-3】（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1-4】如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 【变式1-5】（2022秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 题型二 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 【例题2】（2023春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC， 则（　　） A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 解题技巧提炼 此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键,有时要利用三角形全等的知识来解决． 【变式2-1】（2022春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 【变式2-2】（2022秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？ 【变式2-3】（2022秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 题型三 线段垂直平分线的判定 【例题3】（2022秋•晋州市期末）下列说法错误的是（　　） A．若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA＝PB B．若PA＝PB，QA＝QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线 C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线 解题技巧提炼 垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线