1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【赢在课堂】2023-2024学年高二数学同步精品课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2空间向量运算 的坐标表示 复习导入 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间向量基本定理 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 点的坐标 向量的坐标 复习导入 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 垂直 平面向量运算的坐标表示 设， 类比平面向量坐标运算，你能得出空间向量坐标运算并给出证明吗？ 新知探究 设 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： 空间向量运算的坐标表示 如何证明？ 新知探究 空间向量运算的坐标表示 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设则 所以 利用向量数量积的分配律以及 得， 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 新知探讨 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 空间向量运算的坐标表示 设 新知探讨 思考：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ O 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 空间两点间的距离公式 例题讲解 练习1.已知，求： (1) ＋，－，·， (2)(2)·(－)，(＋)·(－)． 解(1): ; ; . (2): (2)(－) ； (＋)(－). 例题讲解 例2.如图，在正方体中，分别是，的中点. 求证. 证明:不妨设正方体的棱长为1， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则所以. 又，，所以. 所以. 所以，即. 例题讲解 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长.(2)求与所成角的余弦值. 解(1):建立如图所示的空间直角坐标系， 则点的坐标为点的坐标为. 于是. 例题讲解 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长.(2)求与所成角的余弦值. 解(2):由已知，得， ，， 所以， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 例题讲解 练习2.已知空间三点，，，设＝， ＝，若向量＋与－2互相垂直，求的值． 解:， ， ∴＋， ． ∵ ＋与互相垂直， ∴，即， . 例题讲解 练习3.已知空间三点.设，.若与互相平行，求. 解:∵， ， ∴ ∵与平行，所以， 即，所以 则或. 例题讲解 练习4.已知,分别在以下情形下求实数的值. (1)； (2). 解: (1)， ，所以，解得 (2) ， 即，解得 例题讲解 练习5.已知空间三点. 求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)∵ ∴ (2) ∵ ∴. 例题讲解 练习6.如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)过作于，则, , 所以点坐标为, 又因为 ， 所以. 例题讲解 练习6.如图，,原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且, ,求 (1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (2)因为， ， , ， 所以， ， 则， ， 所以 小结 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 $$