1.1.1空间向量及其线性运算第二课时

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.理解空间向量的含义，能够区别于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和单位向量。理解相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量和异面向量。 2.掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。 学习目标 问题(1) 你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb . 对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb . 探究交流 追问(1) 你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 如右图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量. 对于直线 l上任意一点 P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数 λ ，使得 = λa. 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 直线的方向向量 构建数学 追问(2) 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. 追问(3)如何判断三个向量是否共面呢？ a b . O α c p 探究交流 追问(4) 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ a b . O α p p＝xa +yb 平面向量基本定理：若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb. 若 p在α内，则有 p＝xa +yb； 若 p＝xa +yb，则 p在α内. 探究交流 平面向量基本定理 若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： p＝xa +yb. 两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a ，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： p＝xa +yb. 空间向量共面的充要条件 A B C 探究交流 问题4 如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA ，OB ，OC ，OD，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H，使 . 求证： E ，F ，G ，H 四点共面. 追问(1) 如何证明E ，F ，G ，H四点共面？ 可以通过证明 这四点构成的三个向量，如 共面，来证明这四点共面. 追问(2) 如何证明这三个向量共面？ 根据向量共面的充要条件，用 表示 即可. 探究交流 追问(3) 如何实现上述表示？ 把根据三角形法则，把 分别 用 等向量来表示；再利用 已知条件，将它们转化为用 来表示的形式. 而由平行四边形ABCD，得到 ，从而可以 得到 的关系，进一步得到 的关系，最终用 表示 . 探究交流 证明:因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 . 因此， 因此， 共面，即 四点共面. 因为 ，所以 探究交流 【例题讲解】向量共面、四点共面 P5-例1. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使