1.1.1空间向量及其线性运算

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.理解空间向量的含义，能够区别于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和单位向量。理解相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量和异面向量。 2.掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。 学习目标 在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如拉力、风力、重力. 国庆节期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图（1），游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ O A B D 图（2） 新知引入 问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？ 追问(1) 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或|a|. 探究交流 追问(2) 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) a c b 印刷体： a 手写体： 探究交流 追问(3) 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 共线向量： 模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b； 模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b ； 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 探究交流 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线. 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线. 探究交流 空间向量的基础概念 空间向量的定义：空间中，既有大小又有方向的量 空间向量的符号：,… 空间向量的图示：有向线段及其长度 空间向量的模(长度)：空间向量的大小，记作||,||,… 零向量：长度为0(起点与终点重合)的向量，记作 单位向量：长度为1的向量，记作 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是 相等向量：长度相等且方向相同的向量(与起点无关) 说明任意两个空间向量都可以平移到同一平面内， 成为同一平面内的两向量. 方法总结 判断：所有单位向量都是相等向量 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 追问(1) 平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？ 平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算.先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律. 追问(2) 平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？ 探究交流 特点: 共起点，连终点，指向被减 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾顺次连，起点指终点 特点: 同起点，对角连 2. 向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: A O B 探究交流 实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. (2) 数乘运算： 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量， 这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算． 空间向量的线性运算 转化 平面向量的线性运算 探究交流 空间向量的线性运算 加法： (三角形法则，首尾