专题13.15 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.15 等边三角形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】等边三角形的定义 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 特别提醒：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． 【知识点二】等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 【知识点三】等边三角形的判定 等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点三】含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　 特别提醒：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【考点一】等边三角形➼➻等边三角形的性质➼➻求值✭★证明 【例1】如图，在等边中，与交于点F．给出下列二个条件： ①，②． 请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．    【答案】选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析 【分析】当选择②为条件，①为结论时，由等边三角形的性质可得、，由条件得到，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．当选择①为条件，②为结论时，也可证明，进而得到结论. 解：当选择②为条件，①为结论，证明如下： 证明：是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 当选择②为条件，①为结论，证明如下： 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 【变式2】如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝ ． 【答案】2.5 【分析】由FD＝EF＝ED得到EF最小时，ED取得最小值，然后过点E作E⊥AB于点，即可得到EF最小，然后利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BD的长度． 解：∵FD＝FE＝ED， ∴EF取最小值时，DE取得最小值， 如图，过点E作E⊥AB于点，则∠BD'E＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BE＝30°， ∵BE＝5， ∴BD'＝BE＝×5＝2.5， ∴EF取得最小值时，BD的长为2.5， 故答案为：2.5． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是熟知“垂线段最短”得到EF最小值时点D的位置． 【考点二】等边三角形的判定➼➻求值✭★证明 【例2】 如图，在中，，点D、E在边上（点D在点E的左侧），，，说明是等边三角形的理由． 解：因为（已知），所以（______）． 在和中， ． 所以______（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）． 因为（______）， 又因为（已知）， 所以．即． 因为（已知），所以______． 所以是等边三角形（______）． 【答案】同一个三角形中，等角对等边，，三角形内角和定理，60，有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形 【分析】根据等角对等边的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据三角形的内角和可得，推得，结合题意可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形． 解：∵（已知）， ∴（同一个三角形中，等角对等边）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）． ∵（三角形内角和定理）， 又∵（已知）， ∴． 即． ∵（已知）， ∴． 所以是等边三角形（有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形）． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，等边三角形的判定，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是