专题13.10 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.10 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 特别提醒：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. 【知识点二】等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【知识点三】等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 特别提醒：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【考点一】等腰三角形➼➻等腰三角形的定义 【例1】已知等腰，解答以下问题： （1）若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； （2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 解：（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； （2）若两条边长a和都是腰，则，解得，不符合题意，舍去； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．15或6 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可． 解：根据题意，， 解得， （1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形； （2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为． 故选：B． 【点拨】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，点是射线上一动点（在点的右侧），，当 时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．    【答案】或或 【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 解：分为以下3种情况： ①，    ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ②，    ∵，， ∴， 又， ∴ ③    ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，或或，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键． 【考点二】等腰三角形➼➻等边对等角★★等角对等边➼➻求值✭★证明 【例2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．    （1）若，求的度数； （2）若，的周长是，求的长． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，求得的度数，根据垂直平分线性质得出，得出，利用外角性质进而求出的度数； （2）由（1）知，，利用，即可求出的长． （1）解：， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， 的周长是，即， ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式】如图，在中，，，于点，点在上且，    （1）若的周长是，求