第3-2讲 两条曲线的公切线问题-2024高三一轮复习课件

第3-2讲 两条曲线的公切线问题 2024年高考总复习（第一轮） 1 [问题解读] 在近几年高考导数试题的命制过程中，求曲线的公切 线问题成为高考的热点题型之一. 我们在解题过程中，解决单一曲线的切线问题相对比 较熟练，求解方法也较容易理解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解，显然就比单一 曲线的切线问题要复杂得多，灵活得多，难度也大得多. 下面通过典型例题分析一下常见的三类公切线问题. 2024年高考总复习（第一轮） 2 类型1 两曲线相切时，切点处的公切线方程 【知识点】如果两条曲线 与有且仅有一个公共点 且在 处有且仅有 一条公切线，则称与 相切于点 （如图）. 2024年高考总复习（第一轮） 3 类型1 两曲线相切时，切点处的公切线方程 典例1.已知曲线<m></m>,曲线 <m></m>,求证:<m></m>与<m></m>相切,并求其 公切线的方程. 【解】由得 .令 则 . 当 时,时,,∴ 在上单调递减，在上单调递增, 故.即函数有且仅有一个零点 即方程 仅有唯一根 ,故方程组 仅有一组解 又 ,∴ ， ∴ 与 相切于点∴ 其公切线方程为 即（如图）. 2024年高考总复习（第一轮） 4 【知识点】若两条曲线 与 至少有一个公共点且在点 处的切线不相同, 则称与 相交于点 (如图). 类型2 两曲线相交时，公切线方程 2024年高考总复习（第一轮） 5 类型2 两曲线相交时，公切线方程 典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> . (1)求证:<m></m>与<m></m>相交； (2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程. 【解】(1)证明：由 得 . 令则 . ∴ 在上增， 2024年高考总复习（第一轮） 6 类型2 两曲线相交时，公切线方程 典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> . (1)求证:<m></m>与<m></m>相交； (2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程. 2024年高考总复习（第一轮） 7 类型2 两曲线相交时，公切线方程 典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> . (1)求证:<m></m>与<m></m>相交； (2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程. 【解](2)方法1:设 与的公切线分别与 相切于点 ， 则 消去 得 令 ， 则 .设则,，故 在上单调递增， 又 ，即 只有一个零点1,即方程 有唯一的根 ∴ 解得 , ,.∴ 切点分别为公切线 的方程为 如图） 2024年高考总复习（第一轮） 8 类型2 两曲线相交时，公切线方程 典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> . (1)求证:<m></m>与<m></m>相交； (2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程. 【解](2) 方法2 :设与的公切线代入 得 , ∴ ,即 . ① 设 与曲线 相切于点 , 由得,，则， ② . ③ 由①，②，③得 .（下同方法一） 2024年高考总复习（第一轮） 9 类型2 两曲线相交时，公切线方程 典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> . (1)求证:<m></m>与<m></m>相交； (2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程. 【解](2) 方法3 :设公切线 与曲线 和曲线 分别相切于点 .由 与 得， .由 是曲线在处的切线得， ， ① 由是曲线 在处的切线得， ， ②由此得 消去 ，得 .（下同方法一）. <m> 2024年高考总复习（第一轮） 10 【知识点】已知两曲线 若方程组, 无解， 则与相离.(如图). 类型3 两曲线相离时，公切线问题 2024年高考总复习（第一轮） 11 类型3 两曲线相离时，公切线问题 (1)若<m></m>与<m></m>相离,求<m></m>的取值范围； 【解】(1)假设