12.3 角平分线的性质和判定教案2023-2024学年人教版八年级数学上册

12.3 角平分线的性质和判定 教学目标 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．掌握角平分线的判定定理．(重点) 3．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 教学过程　 1、 情境导入 问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 　　　　　　　　　　　　 导学一：作已知角的平分线 （重点掌握）目标：平分∠AOB. 作法：（1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 （2） 分别以点 和点 为圆心，大于 的长作为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C； （3） 画射线 OC，射线 OC 即为所求． 导学二：角平分线的性质 【探究】角平分的性质 （1） 请用尺规作图作出图 中∠AOB 的平分线 OC； （2） 在OC 上任取一点 P，过点 P 画出 OA，OB 的垂线，垂足分别为 D，E，测量 PD，PE 的长度并作比较，你得到什么结论？ （3）通过（2）中的测量，你猜想角的平分线具有什么样的性质？试证明。 角平分线的性质：角的平分线上的点到 的距离 。 二、考点题型 探究点一：角平分线的作法 例题1： 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 探究点二：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 例题2：如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 例题3：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 例题4： 如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 导学三：角平分线的判定 一、情境导入 【探究】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？试利用三角形全等证明. 证明过程： 角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 二、考点题型 探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 例题1：如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合 例题2：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 例题3： 如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 探究点二：三角形的内角平分线 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数　　　　　　　　　　 例题4： 在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110°B．120°C．130°D．140° 【类型二】 三角形内角平分线的应用 例题5： 已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 四、巩固练习 题组一：角平分线性质的运用 1． 在三角形内部，到三角形三边的距离相等的点是（ ） A． 三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三角角平分线的交点 D．不能确定 2．已知在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，AB=5cm，CD=2cm，则△ ABD的面积等于 ． 3．如图 12.3-5，在△ ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，并交 BC 于D，DE⊥AB 于 E，若 AB=6cm，求△DEB 的周长． 题组