第8讲 函数与导数问题讲义-2023届陕西省高三文科数学二轮专题复习

2023年高考数学二轮复习专题 第8讲 函数与导数 要点回扣 一．函数的定义域： 1．函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2．常见函数定义域的求法：①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为R.④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.⑤y＝tan x的定义域为 .⑥ 函数f(x)＝x0的定义域为 ⑦函数f(x)＝logax的定义域为 3．求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式（组）；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 4．求抽象函数的定义域： （1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． （2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注意：定义域必须写成集合或区间的形式． 二．函数解析式的求法： 1．换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． 2．待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． 3．消去法：若所给解析式中含有f(x)、f或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． 4．配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． 三．函数单调性 1．单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2．导数与函数的单调性： 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数． 3．判断函数单调性的四种方法 ①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论； ③复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； ④图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性． ⑤导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 四．函数奇偶函数的性质： (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0. (2)奇函数在对称的单调区间内有 的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 的单调性． 2． 常见函数的奇偶性：①一次函数y=kx+b(k≠0)为奇函数的充要条件为 ②y＝ax2＋bx+c(a≠0)其为偶函数的充要条件为 ③指数函数与对数函数均为 ④三角函数：y=sinx为 函数；y=cosx为 函数；y=tanx为 函数 五．函数的周期性： (1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有 ，则称f(x)为周期函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期． (2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．②如果T是函数y＝f(x)的周期，则 (k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以 为一个周期的周期函数． 六．图象变换 (1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向 (a>0)或向 (a<0)平移|a|个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向 (a>0)或向 (a<0)平移|a|个单位得到． (2)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a>0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴 ( )或 ( )到原来的 倍得到；函数y＝af(x) (a>0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴 ( )或 ( )为原来的 倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解) (3)对称变换：①奇函数的图象关于 对称